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1 / 13 §2 多重积分、曲线积分与曲面积分一、 多重积分1. 二重积分连续函数 f(x,y)在有限可求积的平面区域Ω 内的二重积分ijjijiyxyxyxfyxyxfji),(limdd),(0||max0||max式中iiixxx1,jjjyyy1,ji是对Ω 中的所有),(ii yx的下标 i，j 求和 . [特定区域内二重积分的计算公式] 积分区域 Ωyxyxfdd),(计算公式（积分限应从小到大）baxxyyxfx)()(21d),(d)()(21d),(dyyxyxfy设sin,cosyx，则ddddyx2121d)sin,cos(d)()(f20)(0d)sin,cos(df[二重积分的变量替换 (雅可比式 )] 若连续可微分的函数2 / 13 ),(),(uyyuxx把平面 Oxy 上的有界闭区域 Ω 单值映射到平面uO上的闭区域 Ω '，其雅可比式为J0),(),(yxuyuxuyx则dd||)],(),,([dd),('uJuyuxfyxyxf例若sincosyx则Jcossinsincos),(),(yx所以dd)sin,cos(dd),('fyxyxf2. 三重积分[直角坐标下的三重积分 ] 假设有界区域 V 由下列不等式a≤x≤b,)(1 xy≤y≤)(2 xy, ),(1yxz≤z≤),(2yxz确定，其中)(1 xy,)(2 xy,),(1yxz,),(2yxz都是连续函数，且函数f(x,y,z)在 V 上是连续的，则函数 f(x,y,z)在有界区域 V 上的三重积分baxyxyyxzyxzVzzyxfyxzyxzyxf)()(),(),(2121d),,(ddddd),,(有时采用下面公式计算：baSVxzyzyxfxzyxzyxfdd),,(dddd),,(式中 SSy zxx ( , )是用平行于 Oyz 的平面截区域 V 所得的截断面 (图 6.3). 例 设 V 表示在第一卦限中由曲面1rqpczbyax和坐标平面所围成的封闭区域，则当一切常数都是正的时候，有)1())()((ddd111rqppqrrqpcbazyxzyxV这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到. 3 / 13 [圆柱坐标下的三重积分 ] (图 6.4) ddd),sin,cos(ddd),,(VVzzfzyxzyxf（一般地， 0≤≤2π ) 式中 V 为直角坐标中的有界区域，V'是区域 V 在圆柱坐标系中的表达式 . [球面坐标下的三重积分 ] (图 6.5) 2dddsin)cos,sinsin,cossin(ddd),,(VVrrrrrfzyxzyxf（一般地， 0≤≤2π ,0≤θ ≤π ) 式中 V'是区域 V 在球面坐标系中的表达式 . [三重积分的变量替换 (雅可比式 )] 若连续可微函数),,(),,(),,(wuzzwuyywuxx把 Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到O'uw 空间的闭区域 V'，并且当（ u,,w)∈V'时其雅可比式0),,(),,(wzwywxzyxuzuyuxwuzyxJ则ddd||)],,(),,,(),,,([ddd),,(VVwuJwuzwuywuxfzyxzyxf3. 多重积分[直接计算多重积分 ] 若函数 f(nxxx,,,21)在由下列不等式所确定的有界...