稳态热传导问题的有限元法

. . 6. 稳态热传导问题的有限元法本章的内容如下：6.1 热传导方程与换热边界6.2 稳态温度场分析的一般有限元列式6.3 三角形单元的有限元列式6.4 温度场分析举例6.1 热传导方程与换热边界在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。 物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换， 以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述，QzTzyTyxTxtTczyx（6-1 ）式中为密度， kg/m3； c 为比热容，K)J/(kg；zyx,,为导热系数，kmw；T为温度，℃； t 为时间， s； Q 为内热源密度，w/m3。对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，QzTyTxTtTc222222（6-2 ）除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的温度分布情况，zy,x,TT00t（6-3 ）边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。在传热学中一般把边界条件分为三类。1） 给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。物体表面上的温度或温度函数为已知，ssTT或),,,(tzyxTTss（6-4 ）2） 给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。已知物体表面上热流密度，sszzyyxxqnzTnyTnxT)(. . 或),,,()(tzyxqnzTnyTnxTsszzyyxx（6-5 ）3） 给定对流换热条件，称为第三类边界条件。物体与其相接触的流体介质之间的对流换热系数和介质的温度为已知。)(sfzzyyxxTThnzTnyTnxT（6-6 ）其中 h 为换热系数， W/(m2 K)；sT 是物体表面的温度；fT 是介质温度。如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即0tT这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化， 而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态（Transient ）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为，0QzTzyTyxTxzyx（ 6-7 ）对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson 方程，0zTyTxT222222Q（6-8 ）考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足Laplace 方程，0zTyTxT222222（6-9 ）在分析稳态热传...