1 / 4 高中数学会考复习训练36 空间向量及其运算和空间位置关系知识点一、空间向量及其有关概念语言描述共线向量 (平行向量 )表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b? 存在 λ∈R，使 a＝λb. 共面向量定理若两个向量a，b 不共线，则向量p 与向量 a，b 共面 ? 存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝xa＋yb. 空间向量基本定理(1)定理：如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得 p＝x a＋y b＋z c．(2) 推论：设O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间一点P 都存在唯一的三个有序实数x、y、z 使 OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC 且x＋y＋z＝1.二、数量积及坐标运算1．两个向量的数量积(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b? a·b＝0(a，b 为非零向量 )；(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2. 2．向量的坐标运算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和a＋b＝(a1＋ b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差a－b＝(a1－ b1，a2－b2，a3－b3) 数量积a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共线a∥b? a1＝λ b1，a2＝λ b2， a3＝ λ b3(λ∈R) 垂直a⊥b? a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23b21＋b22＋b23三、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数2 / 4 多个，它们是共线向量．(2)在空间中，给定一个点A 和一个向量a，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一的．3、平面法向量的求法在 给 定 的 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 设 平 面的 法 向 量( , ,1)nx y[ 或( ,1, )nxz， 或(1, , )ny z ] ，在平面内任找两个不共线的向量,a b 。由 n，得0n a且0n b，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。[小题能否全取 ]1．(课本习题改编 )已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是() A ．a∥c，b∥cB．a∥b，a⊥ cC．a∥c， a⊥bD．以上都不对2．(2012 ·济宁一模 )若{ a，b，c} 为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是() A．{ a，a＋b，a－b} B． { b，a＋ b，a－b}C ．{ c，a＋b，a－b} D． { a＋b， a－b，a＋2b} 3．(教材习题改编 )下列命题：①若 A、 B、C、D 是空间任意...
