空间向量与立体几何立体几何中向量方法VIP专享

1 / 13 §3.2 立体几何中的向量方法知识点一用向量方法判定线面位置关系(1)设 a、b 分别是 l1、 l2 的方向向量，判断l 1、l2 的位置关系：①a＝(2,3，－ 1)，b＝(－6，－ 9,3)．②a＝(5,0,2) ，b＝(0,4,0)．(2)设 u、v 分别是平面α、β 的法向量，判断α、β 的位置关系：①u＝ (1，－ 1,2)，v＝(3,2，12)．②u＝ (0,3,0)，v＝ (0，－ 5,0)．(3)设 u 是平面 α 的法向量， a 是直线 l 的方向向量，判断直线l 与 α 的位置关系．①u＝ (2,2，－ 1)，a＝(－3,4,2)．②u＝ (0,2，－ 3)，a＝(0，－ 8,12)．解(1)① a＝(2,3，－ 1)，b＝(－6，－ 9,3)，∴a＝－ 13b，∴a∥b，∴l 1∥l2. ② a＝ (5,0,2)，b＝ (0,4,0)，∴a·b＝ 0，∴a⊥b，∴l 1⊥l2. (2)① u＝(1，－ 1,2)，v ＝(3,2，12)，∴u·v＝3－2－1＝0，∴ u⊥v ，∴α⊥β .② u＝ (0,3,0)，v ＝(0，－ 5,0)，∴u＝－ 35v ，∴u∥v ，∴α∥β .(3)① u＝(2,2，－ 1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－ 6＋8－2＝0， ∴u⊥a，∴l? α 或 l∥ α .② u＝ (0,2，－ 3)，a＝ (0，－ 8,12)，∴u＝－ 14a，∴u∥ a，∴ l⊥α .知识点二利用向量方法证明平行问题如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C1D1 中， M 、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN ∥平面 A 1BD. 证明方法一如图所示，以D 为原点， DA 、DC 、DD 1 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得2 / 13 M (0,1 ， 12)，N ( 12,1,1)，D(0,0,0)， A 1(1,0,1)，B(1,1,0) ，于是 MN=（ 12，0， 12），设平面 A 1BD 的法向量是n=（x，y，z）. n＝(x， y，z)．则 n· DB ＝0，得0,0,xzxy取 x＝1，得 y＝－ 1， z＝－ 1.∴n＝(1，－ 1，－ 1)．又 MN ·n＝( 12,0， 12) ·(1，－ 1，－ 1)＝0，方法二 MN = 111111122C NC MC BC C111111()22D AD DDA∴MN ∥1DA ，又 MN ?平面 A 1BD. ∴MN ∥平面 A 1BD. 知识点三利用向量方法证明垂直问题在正棱锥P— ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，G 是△ PAB 的重心， E、F分别为 BC、PB 上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝ 1∶2. (1)求证：平面GEF⊥平面 PBC；(2)求证： EG 是 PG 与 BC 的公垂线段．证明(1)方法一如图所示，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA、PB、PC 所在直...