空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图， l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O，点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数t，使得atOAOP，其中向量a 叫做直线的 方向向量 ．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l⊥平面，取直线 l 的方向向量a，则向量 a 叫做平面的 法向量 ．由此可知，给定一点A 及一个向量a，那么经过点A 以向量 a 为法向量的平面惟一确定．(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线 l，m 的方向向量分别是a，b，平面，的法向量分别是u，v，则①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②l⊥ma⊥ba·b＝0；③l∥a⊥ua·u＝0；④l⊥a∥ua＝ ku，k∈R；⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线 a′ ∥a，b′ ∥ b，则 a′与 b′ 所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与 b 所成的角．设异面直线a 与 b 的方向向量分别是v1，v2，a 与 b 的夹角为，显然],2π,0(则|||||||,cos|212121vvvvvv②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面的射影所成的角．设直 线 a 的方向向量是u ， 平面的法向 量是v ，直 线 a 与平面的夹角 为，显然]2π,0[，则|||||||,cos|vuvuvu③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作－ l－在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠ AOB 叫做二面角－l－的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若 AB， CD 分别是二面角－ l－的两个面与棱l 垂直的异面直线，则二面角－l－的大小就是向量CDAB与的夹角的大小．方法二：如图， m 1，m2 分别是二面角的两个半平面，的法向量，则〈m1，m 2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点， 同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【例题分析】例 1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1 中， OA＝3，OB＝4，OO 1＝2，点 P 在棱 AA 1上，且 AP＝2PA1，点 S 在棱 BB 1 上，且 B1S＝2SB，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQ∥RS．【分析】 建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k，使得.RSkPQ解： 如图建立空间直角坐标系，则O(0，...
