向量的数量积和坐标运算ba,是两个非零向量，它们的夹角为，则数cos||||ba叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作ba，即.cos||||baba其几何意义是 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：若),,(),,,(222111zyxbzyxa，则①212121zzyyxxba；②222222212121||,||zyxbzyxa；③212121zzyyxxba④222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxba. 异面直线nm,所成的角分别在直线nm,上取定向量,,ba则异面直线nm,所成的角等于向量ba,所成的角或其补角（如图 1 所示），则.||||||cosbaba. 异面直线nm、 的距离分别在直线nm、 上取定向量,, ba求与向量ba、都垂直的向量 n ，分别在nm、 上各取一个定点BA、，则异面直线nm、 的距离 d 等于 AB 在 n 上的射影长，即||||nnABd.. 直线 L 与平面所成的角在 L 上取定 AB ，求平面的法向量 n（如图 2 所示），再求||||||cosnABnAB，则2为所求的角 . Cn图1DABnmab． 二面角方法一：构造二面角l的两个半平面、 的法向量21nn 、（都取向上的方向，如图3 所示），则①若二面角l是“钝角型”的如图3 甲所示 ， 那么其大小等于两法向量21nn 、的夹角的补角，即.||||cos2121nnnn（例如 2004 年高考数学广东卷第 18 题第（ 1）问） .② 若二面角l是“锐角型” 的如图 3 乙所示， 那么其大小等于两法向量21nn 、的夹角，即.||||cos2121nnnn③ 方法二：在二面角的棱 l 上确定两个点BA、，过BA、分别在平面、 内求出与 l 垂直的向量21nn 、（如图 4 所示），则二面角l的大小等于向量21nn 、的夹角，即.||||cos2121nnnn. 平面外一点 p 到平面的距离先求出平面的法向量 n ，在平面内任取一定点A，则点 p 到平面的距离 d 等于 AP 在 n 上的射影长，即||||nnAPd.练习1．在长方体1111ABCDA B C D 中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60° 和 45° ，则异面直线1B C和1C D 所成角的余弦值为．1n2n图 3乙l1n2nl图 3甲1n2nl图4BA图5Apn2.如图，正四棱柱1111ABCDA B C D 中，12AAAB ，则异面直线1A B 与1AD所成角的余弦值为（）A． 15B． 25C． 35D． 453．，在四面体 S-ABC中，E、F、G、H、M、N 分别是棱 SA、BC、AB、SC、AC、SB的中点，且 EF=GH=MN,求证：ABSCACSBBCSA,,.4．如图 2，正三棱柱111ABCA B C 的底面边长为 a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．AB1A1D1CCD5．如图 3，直...
