空间直线附其方程

1 / 4 第六节空间直线及其方程教学目的： 介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点教学重点： 1. 直线方程 2. 直线与平面的综合题教学难点： 1. 直线的几种表达式 2. 直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。故其一般方程为：0022221111DzCyBxADzCyBxA二、 空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量 。已知直线上的一点),,(0000zyxM和它的一方向向量},,{pnms，设直线上任一点为),,(zyxM，那么MM 0与 s 平行，由平行的坐标表示式有：pzznyymxx000此即空间直线的对称式方程 （或称为点向式方程） 。（写时参照书上注释）如设tpzznyymxx000就可将对称式方程变成参数方程 （ t 为参数 ）ptzzntyymtxx000三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。例 1： 用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx．2 / 4 解： 在直线上任取一点),,(000zyx，取10x063020000zyzy，解得2,000zy，即直线上点坐标)2,0,1(．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{21nns，对称式方程为：321041zyx参数方程：tztytx3241．例 2： 一直线过点)4,3,2(A，且和 y 轴垂直相交，求其方程．解： 因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(B，于是}4,0,2{BAs，所求直线方程：440322zyx三、两直线的夹角：两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。设两直线1L 和2L 的方向向量依次为},,{1111pnms和},,{2222pnms，两直线的夹角可以按两向量夹角公式来计算222222212121212121cospnmpnmppnnmm两直线1L 和2L 垂直：0212121ppnnmm（充分必要条件）两直线1L 和2L 平行：212121ppnnmm（充分必要条件）例 3： 求过点)5,2,3(且与两平面34zx和152zyx的交线平行的直线方程．解： 设所求直线的方向向量为},,{pnms，根据题意知， 直线的方向向量与两个平面的法向量都垂直，所以可以取}1,3,4{21nns，所求直线的方程153243zyx．四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角)20(称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为2。设直线 L 的方向向量为},,{pnms，平面的法线向量为},,{CBAn，直线与平面的夹角为，那3 / 4 么222222sinpnmCBACpBnAm直线与平面垂直：s//n ， 相当于pCnBmA（充分必要条件）直线与平面平行：sn ，相当于0CpBnAm（充分必要条件）平面束...