1 / 16 第八章空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算1.填空题（1）点)1,1,1(关于 xoy 面对称的点为（)1,1,1(），关于 yoz面对称的点为（)1,1,1(），关于 xoz面对称的点为（)1,1,1(）. （ 2）点)2,1,2(关于 x 轴对称的点为（)2,1,2(），关于 y 轴对称的点为（)2,1,2(），关于 z 轴对称的点为（)2,1,2(），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(）. 2. 已知两点)1,1,1(1M和)1,2,2(2M，计算向量21MM的模、方向余弦和方向角 . 解：因为)0,1,1(21MM，故2||21MM，方向余弦为22cos，22cos，0cos，方向角为4，4，2. 3. 在 yoz平面上，求与)1,1,1(A、)2,1,2(B、)3,3,3(C等距离的点 . 解：设该点为),,0(zy，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1zyzyzy，即222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1zyzyzz，解得33yz，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量kjia432的单位向量的分解式. 解 ： 所 求 的 向 量 有 两 个 ， 一 个 与 a 同 向 ， 一 个 与 a 反 向 . 因 为29)4(32||222a，所以)432(291kjiea. 5.设kjim22，kjin2，求向量nma4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为kjikjikjinma796)2()22(44， 所以在 x 轴上的投影为6xa，分向量为iia x6 ， y 轴上的投影为9ya， 分 向 量 为jja y9， z 轴 上 的 投 影 为7za， 分 向 量 为kka z7. 6. 在 yOz 平面上，求与)1,2,1(A、)0,1,2(B和)1,1,1(C等距离的点 . 2 / 16 解 ： 设 所 求 的 点 为),,0(zyP， 由||||||CMBMAM可 得222222222222)1()1(1)1(2)1(2)1()2(1zyzyzyzy，解之得21y，0z故所求的点为)0,21,0(. 7. 已知点)6,2,1(B且向量 AB 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影分别为1,4,4，求点 A 的坐标 . 解：设点 A 的坐标为),,(zyx，由题意可知)1,4,4()6,2,1(zyx，则5,6,5zyx，即点 A 的坐标为)5,6,5(. 8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. 证明：若),,(111zyxA、),,(222zyxB、),,(333zyxC是一个FGH 的三个顶点，设三角形的重心为E，则),,(31)(31321321321zzzyyyxxxCBAE设ABC 的同比nm 之分点分别为F 、 G 、 H ，分点的坐标为),,(212121mnmznzmnmynymnmxnxF),,(323232mnmznzmnmynymnmxnxG),,(131313mnmznzmnmynymnmxnxH则三角形FGH 的重心为,()(31133221mnmxnxmnmxnxmnmxnxHGF),133221133221mnmznzmnmznzmnmznzmnmynymnmynymnmyny),,(3...
