线性代数二次型试题

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x2, ⋯,xn)= a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2a1nx1xn+ a22x22+2a23x1x3+ ⋯+2a1nx1xn+ ⋯+annxn2=212niiiijijiija xa x x . 它可以用矩阵乘积的形式写出: 构造对称矩阵A nnnnnnnnninjjiijnxxxaaaaaaaaaxxxxxaxxxf21212222111211211121),,(),,(记TxxxX,,21，则 f(x 1,x2, ⋯ ,xn)= X TAX称对称阵 A 为二次型f 的矩阵 , 称对称阵 A的秩为二次型f 的秩 . 注意 : 一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXXfT，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A（A 为对称阵） 是一一对应的， 因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。实二次型如果二次型的系数都是实数, 并且变量 x 1,x 2, ⋯,x n的变化范围也限定为实数 , 则称为实二次型. 大纲的要求限于实二次型. 标准二次型只含平方项的二次型，即形如2222211nn xdxdxdf称为二次型的标准型。规范二次型形如221221qpppxxxx的二次型，即平方项的系数只1，-1 ，0，称为二次型的规范型。二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型 f(x 1,x2, ⋯ ,xn)引进新的变量y 1,y2, ⋯ ,yn,并且把 x 1,x2, ⋯ ,xn表示为它们的齐一次线性函数nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111代入 f(x 1,x2, ⋯ ,xn)得到 y1,y2, ⋯ ,yn 的二次型g(y1,y2, ⋯ ,yn). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x2, ⋯ ,xn)作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c11 c12 ⋯ c1nC= c21 c22 ⋯ c2n⋯ ⋯ ⋯ cn1 cn2 ⋯ cnn是可逆矩阵 , 则称为 可逆线性变量替换. 下面讲的都是可逆线性变量替换. 变换式可用矩阵乘积写出:CYXYACCYCYACYAXXfTTTT)()()(记ACCBT，则BBT，从而BYYfT。由ACCBT知，两个 n 阶对称矩阵A 与 B 合同且 r(A)=r(B) 定理1：二次型AXXfT经可逆线性变换CYX后，变成新的二次型BYYfT，它的矩阵ACCBT且)()(BrAr定理 2：两个二次型可以用可逆线性变量替换互相转化的充分必要条件为它们的矩阵合同 .三、正交变换化二次型为标准型定理 3：对实二次型AXXfT，其中AAT，总有正交变换QYX，使2222211)(nnTTTTyyyYYYAQQYAXXf其中n21，为 f 的矩阵 A 的特征值。因为 Q 是正交矩阵， 则AQQAQQBT1，即经过二次型变换，二次型矩阵不仅合同而且相似。将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：（ 1）写出二次型...