综合除法与余数定理

第七节综合除法与余数定理综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(xf除以除式)0)((),(xgxg得商式)(xq及余式)(xr时，就有下列等式：)()()()(xrxqxgxf。其中)(xr的次数小于)(xg的次数，或者0)(xr。当0)(xr时，就是)( xf能被)(xg整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。例 1、用综合除法求3474142xxx除以2x所得的商和余式。解：余式商的各项的系数82632241264414072∴)2()74142(34xxxx的商是263223xxx，余式是 8。上述综合除法的步骤是：（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。（2）把除式的第二项 -2 变成 2，写在被除式的右边， 中间用一条竖线隔开。（3）把被除式的第一项的系数2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用 2 乘商的第一项的系数2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7 的下面，同 -7 相加，得到商的第二项系数-3 。（5）用 2 乘商的第二项的系数 -3 ，得 -6 ，写在被除式的第三项的系数0的下面，同 0 相加，得到商的第三项的系数-6 。（6）用 2 乘商的第三项的系数 -6 ，得-12 ，写在被除式的第四项的系数14的下面，同 14 相加，得到商的第三项系数2。（7）用 2 乘商的常数项 2，得 4，写在被除式的常数项4 的下面，同 4 相加，得到余式 8。前面讨论了除式都是一次项系数为1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？例 2、求)23()1623103(23xxxx的商式 Q和余式 R。解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用32x去除被除式，再把所得的商缩小3 倍即可。541615123332108216231033∴Q=542xx，R=6。下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。例 3、用综合除法求)23()4101173(2234xxxxxx的商 Q和余式 R。解：23123232346694101173∴Q=5232xx，R=23x。二、余数定理余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。 余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式)(xf除以ax所得的余数等于)(af。略证：设RaxxQxf)()()(将 x=a 代入得Raf)(。例 4、确定 m的值...