第一章 度量空间 ——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授 ylyang@mail.xidian.edu.cn - 8 - 1 .2 度量空间的拓扑性质与连续性 1 .2 .1 度量空间的拓扑性质 定义1 .2 .1 邻域 设 (, )X d 是度量空间，0xX∈，0δ >，称集合0(, )O x δ0{ |( ,),}x d x xxXδ=<∈为以0x 为中心，δ 为半径的开球，或0x 的一个 δ 邻域．如果不特别强调半径，用0()O x表示0x 的半径；称0(, )O x δ0{ |( ,),}x d x xxXδ=≤∈为闭球． 定义1 .2 .2 内点、开集与闭集 设 (, )X d 是一度量空间，0xGX∈⊂，若存在0x 的δ 邻域0(, )O x δG⊂，则称点0x 为 G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ 为开集．对于 FX⊂，若CFXF=−是开集，则称 F 为闭集． 注 1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例 1 .2 .1 度量空间(, )X d 的开球0(, )O x δ 是开集． 证明 x∀ ∈0(, )O x δ ,显然0( ,)d x xδ<，取*01 (( ,))2d x xδδ=−，即*02( ,)d x xδδ+=，则对任何*( ,)yO x δ∈，都有*( , )d x yδ<，从而 0( ,)d y x0( , )( ,)d y xd x x≤+*0( ,)d x xδ<+δ<． 即*( ,)O x δ⊂0(, )O x δ ,所以0(, )O x δ 是开集．□ x0δx*δX x0δx*δX 图 2.1 例 1 .2 .1 和例 1 .2 .2 证明示意图 例 1 .2 .2 度量空间(, )X d 的闭球0(, )O x δ 是闭集． 泛函分析导论 ——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授 ylyang@mail.xidian.edu.cn - 9 -证明 0( (, ))CxO x δ∀ ∈，显然0( ,)d x xδ>，取*01 ( ( ,))2 d x xδδ=−，即*02( ,)d x xδδ+=，则*( ,)yO x δ∀ ∈，有 *00( ,)( ,)( , )2( , )d y xd x xd y xd y xδδδ≥−=+−> 可见0( (, ))CyO x δ∈，即*( ,)O x δ⊂0( (, ))CO x δ，从而0( (, ))CO x δ为开集，故0(, )O x δ 为闭集． 例 1 .2 .3 设0(,)X d是离散度量空间，A 是 X 的任意非空子集，证明 A 既是开集又是闭集． 证明 0xA∀∈，取 12δ =，则{ }000011(, )|( ,),22O xx dx xxXxA⎧⎫=<∈=⊂⎨⎬⎩⎭，故0x 是 A 的内点，从而 A 是开集．由于 XA−是 X 的子集，故它是开集，从而A 是闭集．□ 下面是一...
