数值分析典型例题

１ 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5 位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.000034310. 解：按照定义，以上各数具有5 位有效数字的近似值分别为：236.478 ， 0.0023471 ， 9.0000 ， 9.0000310。 注意: *x =9.000024 的5 位有效数字是 9.0000 而不是 9，因为 9是 1 位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310，2310 。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为 5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程*s 的近似值s=800m，所需时间*s 的近似值为t=35s，若已知mssstt5.0||,05.0||**，试求平均速度 v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为tsv/，所以)()(1)()()(2tetssettetvsesvve 从而05.00469.0358005.0351|)(||||)(|1|)(|22tetssetve 同样vvever)()()()()()(tesetevttvsevssvrrr 所以00205.03505.08005.0|)(||)(||)(|teseverrr 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05 和 0.00205 。 例4 试建立积分20,,1,05ndxxxInn的递推关系，并研究它的误差传递。 解：151nnInI……………………………………………..…...(1) 5ln6ln0I，计算出0I 后可通过（ 1）依次递推计算出1I ,…,20I。但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I也有误差，由（1）可知近似值之间的递推关系为151nnInI……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5eeennn，由0I 计算nI 时误差被放大了n5 倍。所以（1）不稳定。 （1） 可以改写为 nIInn51511 ……………………………………… （3） 如果能先求出20I，则依次可以求出19I,…,0I ，计算20I时有误差，这样根据（3）计算19I,…,0I 就有误差，误差传播为 nnnee511，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23xxxxf在区间[0,1]内的1个实根，要求有3 为有效数字。 解：因为0)1()0(ff，且当]1,0[x时，0223)(2xxxf，所 ２ 以方程在[0,1] 内仅有一个实根，由311021)01(21k，解得965.92ln10ln3k，所以至少需要二分10 次，才能得到满足精度要求的根。 第 k 次有根区间为)(21],,[kkkkkbaxba，该题的二分法的计算过程间下表，结果445.02/)(101010b...