92 第六章 数值微分与数值积分 本利用函数的插值理论，构造了相应的数值微分与数值积分计算公式，并通过Richardson（理查森）外推技巧提高了这些公式的计算精度；另外，本章还对所建立公式的收敛性及数值稳定性进行了分析；对于数值积分公式，还给出了精度的评价标准――代数精度，并由此出发，建立了精度最高的Gauss 型求积公式． § 6 .1 引 言 尽管微积分是现代科学的重要基础与起点，并且已在物理、力学、化学、生物等自然科学领域以及经济、管理等社会科学领域中有了非常广泛的应用，然而在微积分计算中，还至少面临着如下问题． (1) 被积函数的原函数不易求出或者根本不能用初等函数表出．例如，概率积分 202( )(0)txp tedxt 和椭圆积分 220( )1sin(02 )te tkx dxt (2) 函数的表达式形式过于复杂，对其直接进行积分、求导运算，计算量很大；甚至对于一些形式简单的函数进行积分，得到的原函数也可能非常复杂．例如 Cxtgarctgxdx233332cos2 更重要的是，尽管上式从形式上看是精确的，然而，用上式计算定积分时，因函数值不能做到精确计算，最终得到的结果仍然是近似的，并且所引入的正切值和反正切值的计算量也不小． (3) 函数本身就是离散函数，如实验数据等，用经典的微积分知识无法求其导数值和积分值． 在计算机发展迅速的今天，上述困难可以用数值的方法予以解决．本章主要介绍常用的数值微积分公式及其相关理论． § 6 .2 数值微分公式 在微分学中，函数的导数是通过导数定义或求导法则求得的．然而如果需要利用函数在相关离散节点处的函数值近似计算其导数，就要寻求其它的方法．一种方法是利用离散数据进行插值，然后用插值函数的导数作为被插值函数导数的近似；另一种方法是将不同点的函数值在某一点Taylor 展开，然后用其线性组合建立函数的导数值近似表达；另外，还可以根 93 据数值微分公式的截断误差，通过Richardson 外推技巧建立更高精度的数值微分公式． 一、插值法 考虑以表格形式给出的，定义于区间],[ba上的离散函数：),,2,1,0( )(nixfyii，用第四章的插值方法建立该函数的插值多项式)(xpn．由于多项式的导数容易求得，可以取)(xpn的导数作为函数)(xf导数的近似，即取)()(xpxfn．由 (1)1( )( )( )( ) ()(1)!nnnff xpxxabn (6.1) 得到 )()!1()()()!1()()()()1(11)1(...
