习题 1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法
[解] 设下三角矩阵L 的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T 的各列向量
为此我们将T 按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T 的初始状态为单位矩阵
这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L 的逆矩阵T，前代法） ３．证明：如果是一个 Gauss 变换，则也是一个 Gauss 变换
[解] 按Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵 是Gauss 变换
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵
事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss 变换L，使 [解] 比较比较向量 和 可以发现Gauss 变换L 应具有功能：使向量 的第二行加上第一行的2 倍；使向量 的第三行加上第一行的2 倍
于是Gauss 变换如下 ５．证明：如果 有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2 中的L 和U 都是唯一的
[证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵
因为 A 非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵
即， 从而 即A 的LU 分解是唯一的
17．证明定理1·3·1 中的下三角阵 L 是唯一的
[证明] 因 A 是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此 A 非奇异
为证明L 的唯一性，不妨设有和使 那么 注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵
因此，只能是对角阵，即 从而 于是得知 19．若是A 的Cholesky 分解，试证L 的i 阶顺序主子阵正好是A 的i 阶顺序主子
