习题 1 １．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。 [解] 设下三角矩阵L 的逆矩阵为T 我们可以使用待定法，求出矩阵T 的各列向量。为此我们将T 按列分块如下： 注意到 我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程 便可求得 [注意] 考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T 的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法： 算法（求解下三角矩阵L 的逆矩阵T，前代法） ３．证明：如果是一个 Gauss 变换，则也是一个 Gauss 变换。 [解] 按Gauss 变换矩阵的定义，易知矩阵 是Gauss 变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上 注意到，则显然有从而有 ４．确定一个Gauss 变换L，使 [解] 比较比较向量 和 可以发现Gauss 变换L 应具有功能：使向量 的第二行加上第一行的2 倍；使向量 的第三行加上第一行的2 倍。于是Gauss 变换如下 ５．证明：如果 有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2 中的L 和U 都是唯一的。 [证明] 设 ，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为 A 非奇异的，于是 注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即， 从而 即A 的LU 分解是唯一的。 17．证明定理1·3·1 中的下三角阵 L 是唯一的。 [证明] 因 A 是正定对称矩阵，故其各阶主子式均非零，因此 A 非奇异。为证明L 的唯一性，不妨设有和使 那么 注意到：和是下三角阵，和为上三角阵，故它们的逆矩阵也分别是下三角阵和上三角阵。因此，只能是对角阵，即 从而 于是得知 19．若是A 的Cholesky 分解，试证L 的i 阶顺序主子阵正好是A 的i 阶顺序主子阵的Cholesky 因子。 [证明] 将 A 和 L 作如下分块 其中：为矩阵 A 和 L 的i 阶顺序主子阵。。显然 故有。即是的 Colicky 分解。 23．设 用平方根法证明 A 是正定的，并给出方程组的解。 [解] 由 Colicky 分解可得 其中 显然，L 是非奇异矩阵。因此，对.于是 所以是正定的。 由方程组，解得，再由方程组，解得 习题 2 2.2 证明：当且仅当和线性相关且时，才有. 证明 因为对任意的 于是， 当且仅当 由等式（E2.1）可知，当且仅当 ， 即，对任意的，此式成立不外乎二种情形：或；或；或.即和线...
