曲面的参数方程

1 第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面 是由显式 Dyxyxfz),(),,( 所表示。 设),,(zyx是曲面 上的点， 记向量),,(zyxr ，则它们可构成一一对应。 于是曲面 上的点可以用向量值函数 Dyxyxfyxr),()),,(,,(来表示， 也可以写为参数形式 ),(,,yxfzyyxx Dyx),(。 2 一般地，设3),(Rvurr ， 其中参数 ),(vu， 这里 是2R 中的一个区域。 我们称由 3),(Rvurr ， ),(vu， 所构成的3R 中点集 为一张参数曲面，（即曲面 ，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为),(),,(:vuvurr ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ),(),(),,(vuzzvuyyvuxx ， ),(vu（2） 通常，我们称（1）是曲面 的向量方程，而（2）是曲面 的参数方程。 3 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。 二、 几个常见曲面的 参数方程表示 例 1 平面的参数方程 设30000),,(Rzyxp 是一个固定的点， ),,(321aaaa 与),,(321bbbb 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a与b张成的平面可以用向量方程， 20),(,Rvubvaupr 来表示； 4 写成分量表示为 vbuaxx110， vbuayy220， vbuazz330， 即方程组 0)()(1)(110vbuaxx， 0)()(1)(220vbuayy， 0)()(1)(330vbuazz 有非零解 ),,1(vu ， 所以，有 0321321000bbbaaazzyyxx 。 例2、 圆柱面222: xya 的 参数方程为 ( cos , sin , )raaz， 其中参数的变化范围是 02，z  。 5 例3、 球心在坐标原点，半径为 a的球面2222:azyx， 有参数方程 ( sincos , sinsin, cos )raaa， 其中参数的变化范围是 0,02， 参数,的意义，分别表示纬度和经度，见图所示。 例4、 椭球面1:222222czbyax， 的参数方程表示为 ,cossinax  ,sinsinby  ,coscz  这里  0，20 。 例5、考虑 xOz平面上的一曲线 :( )0,( ),xx tzz t atb 。 把此曲线绕 z 轴旋转一周， 则得一曲面 ，称 为旋转曲面。 6  的参数...