解三角形——求取值范围问题

解三角形求取值范围问题类型 1：正弦定理 +外接圆半径 +三角函数1. 在ABC 中，若3sin4B，10b，则边长 c 的取值范围是（） A. 15(,)2 B. (10,) C. 40(0,]3 D. (0,10)2．在△ ABC中， C=，AB=3，则△ ABC的周长为（）A．B．C．D．3．在△ ABC中，，则△ ABC的周长为（）A．B．C．D．4．在ABC 中，cba,,分别为内角CBA,,所对的边，若3a，3A，则cb的最大值为（）A． 4 B．33C. 32 D．25．在ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c，已知3a，tan21tanAcBb，则 bc的最大值为 ___6____．6．在锐角△ ABC中，a，b， c 分别为角 A，B，C所对的边，且3a＝2csin A. (1) 确定角 C的大小； (2) 若 c＝3，求△ ABC周长的取值范围．解： (1) 已知 a，b，c 分别为角 A，B，C所对的边，由3a＝2csin A，得3sin A＝ 2sin Csin A，又 sin A≠0，则 sin C＝32 ，∴C＝π3 或 C＝2π3 ， △ ABC为锐角三角形，∴C＝2π3 舍去，∴ C＝ π3 . (2) c＝3，sin C＝32 ，∴由正弦定理得：asin A＝bsin B＝csin C＝332＝2，即 a＝2sin A，b＝2sin B，又 A＋ B＝π － C＝2π3 ，即 B＝2π3 －A，∴a＋b＋c＝ 2(sin A＋sin B) ＋3 ＝2 sin A＋sin2π3 － A＋3 ＝2 sin A＋sin2π3 cos A－cos2π3 sin A ＋3 ＝3sin A＋3cos A＋3 ＝23 sin Acosπ6 ＋cos Asinπ6 ＋3＝23· si n A＋π6＋3， △ ABC是锐角三角形，∴π6 ＜A＜π2 ，∴32 ＜sinA＋π6 ≤1，则△ ABC周长的取值范围是(3 ＋3，33 ] ．7. 在锐角△ ABC中， a，b，c 分别为∠ A，∠ B，∠ C的对边，且c=2，∠ C=60°，求 a+b 的取值范围．解：由正弦定理知，则 a=，b=，而 C=60° ，所以 a+b==4sin （A+30° ）因为锐角△ ABC， C=60° ，则 30° ＜ A＜90° ，所以a+b∈（ 2，4] ∴a+b 的取值范围为（2， 4] ．8.已知角 A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若 a2＝b2＋ c2+bc，且 a＝23．（Ⅰ）若 △ABC的面积 S＝3，求 b＋c 的值；（Ⅱ）求 b＋ c 的取值范围．【解析】（1） a2＝b2＋c2+bc，∴2221cos22bcaAbc，即 cosA＝－12，又 A∈(0，π )，∴ A＝23 . 又由 S△ABC＝12bcsinA＝3，所以 bc＝4，由余弦定理得：12=a2＝b2＋c2－2bc·cos23 ＝b2＋c2＋bc，∴ 16＝(b＋ c)2，故 b＋c＝4. （2...