计算方法_微分方程数值解讲解VIP专享

120 第 6 章 常微分方程初值问题数值解法6.1 问题的描述和基本概念1、常微分方程初值问题一般形式0( , )( )yf x yy ay式中( ,)fx y 已知，0( )y ay 称为初值条件 .初值问题的数值方法和数值解求 函 数( )yy x 在 若 干 离 散 点kx 上 的 近 似 值(0,1,)kyk的方法称为初值问题的数值方法， 而称(0,1,)kyk为初值问题的数值解 . 121 2. 建立数值解法的思想与方法用离散化方法将初值问题化为差分方程, 然后再求解. 设节点为011nnaxxxx距离1kkkhxx 称为步长.求数值解一般是从0y 开使逐次顺序求出12,,yy. 初值问题的解法有单步法和多步法两种：单步法 ：计算1ky时只用到ky 一个值；多步法 ：计算1ky时要用1,,,kkk lyyy多个值。数值解法还有 显格式 和隐格式 之分。122 微分方程离散化方法主要有数值微分法 ，数值积分法 和 Taylor 展开法1) 数值微分法由'()(,())kkky xf xy x，用数值微分的 2 点前差公式代替'()kyx，得近似离散化方程11()()'()(, ())kkkkkkky xy xy xf xy xxx记1kkhxx ，做()kkyy x，“”，得差分方程1(,)kkkkyyf xyh即1(,)kkkkyyhf xy（Euler 公式）123 由初值条件0( )yy a 及 Euler公式可求出数值解12,,,,nyyy.Euler 公式是 显式单步法 .2）数值积分法124 在1[,]kkxx上对'( ,)yf x y 两边取定积分，得111()()'( , ( ))kkkkxxkkxxy xy xy dxf x y x dx右端积分用左矩形 公式（ 数值积分公式 ）得1()()(, ())kkkky xy xhf xy x于是得到求初值问题的Euler 方法1(,)kkkkyyhf xy125 右端积分用右矩形 公式（ 数值积分公式 ）得111()()(, ())kkkky xy xhf xy x于是得到求初值问题的后退Euler 方法1+1+1(,)kkkkyyhf xy后退 Euler 方法是隐式的 . 126 右端积分 用梯形公式（ 数值积分公式 ）得近似离散化方程：111()()[(, ())(, ())]2kkkkkkhy xy xf xy xf xy x于是得到求初值问题的 梯形方法111[(,)(,)]2kkkkkkhyyf xyf xy该公式是 隐式单步法 .127 3）Taylor展开法因为初值问题中函数( ,)f x y 是已知函数，由( , )yf x y ，可以计算''y ，'''y ，⋯，于是有函数( )yy x 在kx 处的 Taylor展式212()()'()''()2!()(, ())[( , ( ))]2!kkkkkkkkxxhy xy xhy xyxhdy xhf xy xf x y xdx取上式 右端前若干项，得近似离散化方程. 例如取前两项有1()()(, ())kkkky xy ...