四川大学2004至2005学年第一学期常微分方程期末考试试题四川大学期末考试试题[A卷]（开卷，闭卷，半开卷）（2004——2005学年第一学期）课程号：20122940课序号：0课程名称：常微分方程任课教师：张伟年、杜正东成绩：适用专业年级：数学2年级学生人数：印题份数：学号：姓名：考试须知四川大学学生参加由学校组织或由学校承办的各级各类考试，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》和《四川大学考场规则》。有考试违纪作弊行为的，一律按照《四川大学学生考试违纪作弊处罚条例》进行处理。四川大学各级各类考试的监考人员，必须严格执行《四川大学考试工作管理办法》、《四川大学考场规则》和《四川大学监考人员职责》。有违反学校有关规定的，严格按照《四川大学教学事故认定及处理办法》进行处理。1)(分)画出方程的积分曲线在整个平面上的分布情况.2)(分)求线性方程组:满足初值条件的解.3)(分)已知微分方程有积分因子,试求所有可能的函数.注：1试题字迹务必清晰，书写工整。本题2页，本页为第1页2题间不留空，一般应题卷分开教务处试题编号：3务必用A4纸打印学号：姓名4)(分)设是二阶线性方程的相应的齐次方程的一个非零解,其中,和是上的连续函数,求所给非齐次线性方程的通解.5)(分)考虑初值问题将区间分为等份并构造出相应的Euler折线.6)(分)求出线性系统的平衡点,判断其类型和稳定性,并画出相图.本题2页，本页为第2页教务处试题编号：四川大学2004-2005学年第一学期期末考试参考答案课程号：20122940课序号：0课程名称：常微分方程任课教师：张伟年,杜正东适用专业年级：数学学院2003级所有专业1)(分)画出方程的积分曲线在整个平面上的分布情况.解:水平等倾线为双曲线.当时,积分曲线递增;当时,积分曲线递减.在双曲线上积分曲线取极值.又在曲线上为拐点.最后积分曲线在整个平面上的分布关于原点对称.根据以上情况可画出积分曲线在整个平面上的分布情况.(图略)2)(分)求线性方程组:满足初值条件的解.解:该方程组的系数矩阵为它有单特征根和二重特征根.对,其对应的特征向量为.对求的非平凡解,得到两个线性无关的解和.由此得最后得到初值问题的解可表示为:由此得初值问题的解3)(分)已知微分方程有积分因子,试求所有可能的函数.解:令,,由所给方程有积分因子知即,因此函数满足一阶线性方程求出其通解即得使所给方程有积分因子的函数为其中为任意常数.4)(分)设是二阶线性方程的相应的齐次方程的一个非零解,其中,和是上的连续函数,求所给非齐次线性方程的通解.解:先求相应的齐次方程的另一个非零解.令,则有代入原方程得由假设知故新的未知函数满足方程令,则有容易求出其一个特解为因此得相应的未知函数:故为相应的齐次方程的一个特解.容易验证,的Wronski行列式非零,故线性无关,从而为相应的齐次方程的一个基本解组.由常数变易公式知所给二阶线性微分方程的通解为其中,为任意常数.5)(分)考虑初值问题将区间分为等份并构造出相应的Euler折线.解:将区间分为等份,则等分点为不难构造出相应的Euler折线为:6)(分)求出线性系统的平衡点,判断其类型和稳定性,并画出相图.解:求解方程组得平衡点.引进平移变换,可将系统化为其系数矩阵的特征值为,,是一对相异正实根,因此平衡点为原系统的不稳定两向结点.作非奇异线性变换:可将系统化为由此不难画出变换后的系统在平面上的相图.由此可画出原系统在平面上的相图.(图略)
