第四章 内积空间 1 第四章 内积空间 在第三章中，我们把n 维Euclid 空间nR 中的向量的模长推广到一般线性空间中去，得到了赋范线性空间的概念。但在nR 中可以通过两个向量的夹角讨论向量与方向的问题。 这对仅有模长概念的赋范线性空间是做不到的。 我们知道，nR 中向量的夹角是通过向量的内积描述的，因此在本章我们引入了一般的内积空间的概念。 4.1 内积空间的基本概念 首先回忆几何空间3R 中向量内积的概念。设123( , , )xt t t，123( ,,)ys s sR，设 x 与 y夹角为 ，由解析几何知识可得 1 12 23 3cost st st sxy 其中， 13221()kkxt ，13221()kkys 令31,kkkx yt s ，称为 x 与 y 的内积，不难证明它有如下性质： （1）3,0,,,0;x yxRx xx 且 （2）3,,,,;x yy xx yR （3）3121212,,,,,,;xx yx yx yx x yR （4）3,,,,,.x yx yRx yR 注：由定义可得,xx x，我们看到，两个向量的夹角仅与向量的内积有关。利用内积我们可以讨论如向量的直交及投影等重要几何问题。 现在我们引入一般的内积空间的概念。 【定义 4 .1 】 设 X 为数域 F 上线性空间，若对任两个元素（向量） x ，yX，有惟一F 中数与之对应，记为,x y ，并且满足如下性质： （1）,0,,,0;x yxXx xx 且 （2）,,,,;x yy xx yX 应用泛函分析(第二版) 2 （3）121212,,,,,,;xx yx yx yx x yX （4）,,,,,;x yx yFx yX 则称,x y 为x与y的内积，有了内积的线性空间叫做内积空间，当F 为实数域R（或复数域C ），叫X 为实（或复）内积空间。 注:由性质（3）与性质（4）知，内积运算关于第一变元是线性的。 由性质（2）与性质（4）可推知,,x yx y.于是当X 为内积空间时，内积关于第二个变元也是线性的。而常称,,x yx y为共轭齐次性，因此在 X 为赋内积空间时，内积是共轭线性的。 今后讨论中不加注明时，恒设 X 为复内积空间。 【引理 4.1】（Schwaraz不等式） 设 X 为内积空间，对任意 x，yX，成立不等式 ,,,x yx xy y 证明：若 y ，则任 xX，有,0x ，则显然不等式成立。现在设 y ，则F ，有 20,,,,,xy xyx xx yy xy y 取,,x y...
