- 1 - 《近世代数》试卷1（时间 120 分钟）二、判断题 （对打“√”，错打“×”，每小题 2分，共 20 分）1. （）循环群的子群是循环子群。2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。3. （）存在一个4 阶的非交换群。4. （）素数阶的有限群G 的任一子群都是G 的不变子群。5. （）无零因子环的特征不可能是2001。6. （）无零因子环的同态象无零因子。7. （）模 97 的剩余类环Z97 是域。8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。9. （）域是唯一分解整环。10. （）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。一、填空题 （共 20 分，第 1、4、6 小题各 4 分，其余每空2 分）1. 设 A、B 是集合， | A |＝ 3，| B |＝2，则共可定义个从 A 到 B 的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。2. 设群 G 是 24 阶群， G 中元素 a 的阶是 6，则元素 a2 的阶为，子群 H= < a3>的在 G 中的指数是。3. 设 G＝< a>是 10 阶循环群，则G 的非平凡子群的个数是。4. 在模 12 的剩余环 R=｛[0], [1], ⋯⋯ , [11] ｝中，［5］＋［ 10］＝，［5］· ［10］＝，方程 x2＝[1] 的所有根为。5. 环 Z6 的全部零因子是。6. 整环 Z[ √-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α ＝在 Z[ √-3 ]中有两种本质不同的分解 α ＝= 。得 分评卷人复查人三、解答题 （共 3０分）1.设 S3 是 3 次对称群， a=（123）∈ S3．（１）写出 H＝< a>的所有元素．（２）计算 H 的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断 H 是否是 S3 的不变子群，并说明理由．2. 求模 18 的剩余类加群 (Z18,+,[0]) 的所有子群及这些子群的生成元。- 2 - 3. 在整数环 Z 中，求由 200４， 125 生成的理想A= （2004，125）。四、证明题 （共 30 分）1.设 G 是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G 中阶大于 2 的元素的个数一定为偶数；（２）G 中阶等于 2 的元素的个数一定为奇数。2. 设φ 是环（ R，+，· ，0，1）到环（ R ， +，·，0/，1/）的同态满射。N=Ker φ ={x|x ∈R且φ （x）=0/}, 证明： φ 是同构映射当且仅当N={0} 。3. 证明：非零整环R 只有有限个理想当且仅当R 是域。- 3 - 《近世代数》试卷2（时间 120 分钟）一、填空题 （共 20 分）1. 设 G＝（ a）是 6 阶循环群，则G 的子群有。2. 设 A、B 是集合...
