1Malthus模型与Logistic模型为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。2年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长背景3马尔萨斯(Malthus)模型(1798)马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基本上是一常数，(r=b-d,b为出生率，d为死亡率)，即：马尔萨斯(Malthus,1766-1834)英国经济学家,人口论作者N(t)~时刻t的人口基本假设:人口(相对)增长率r是常数trtNtNttN)()()(00)(,ddNtNrNtN随着时间增加，人口按指数规律无限增长。)(00e)(ttrNtN模型14)(00e)(ttrNtN马尔萨斯模型的一个显著特点：人口数量翻一番所需的时间是固定的。令人口数量翻一番所需的时间为T，则有：002eNNTrrT2ln参数估计00ln)(lnxttrNy最小二乘法估计r。模型分析5模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6(即3.06×109)，人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。年1625183019301960197419871999人口(亿)51020304050606指数增长模型的应用及局限性•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合•适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代•可用于短期人口增长预测•不符合19世纪后多数地区人口增长规律•不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据不符人口增长率r不是常数(逐渐下降)7模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。故马尔萨斯模型是不完善的。8模型分析所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。9Logistic模型模型2人口净增长率应当与人口数量有关，即：)(Nrr从而有：NNrtN)(ddr(N)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求。为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项(竞争项)。10对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令aNrNr)(上式被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特(Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。此时得到微分方程：或NaNrtN)(ddNKNrtN)1(dd其中K为环境能供养的最大人口数量，称人口容量。11NKNrtN)1(dd上式可改写成：NNKKrtN)(dd上式解释：由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。K为环境能供养的种群数量的上界，N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，上式指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是上式也被称为统计筹算律的原因。12NNKKrtN)(dd两边积分并整理得分离变量得trNNKNdd)11(trCKtNe1)(得令，0)0(NN,00NNKCtrNKNK...
