2024年平面向量的数量积知识点及归纳总结VIP免费

平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积(1）已知两个非零向量和，作ＯＡ＝,OＢ=,∠AＯB＝θ（0≤θ≤)叫作向量与的夹角.记作,并规定.如果与的夹角是,就称与垂直，记为.(2)|｜｜|coｓ叫作与的数量积(或内积),记作,即＝||||cｏs.规定:零向量与任一向量的数量积为０.两个非零向量与垂直的充要条件是=０.两个非零向量与平行的充要条件是＝｜｜||．二、平面向量数量积的几何意义数量积等于的长度||与在方向上的射影||cosθ的乘积．即=||｜｜ｃosθ.(在方向上的射影｜|cosθ;在方向上的射影|｜cosθ).三．平面向量数量积的重要性质性质1.性质2性质3当与同向时；当当与反向时.或.性质4性质5注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度;利用性质４可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.四、平面向量数量积满足的运算律(1）(交换律）；（２）为实数）;(３）（分配律）。数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律,不可约分．五、平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量由此得到（1）若；（2）设两点间距离（3）设的夹角,则非零向量的充要条件是.由得.六、向量中的易错点(1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.(2）当时，由不能推出一定是零向量,这是因为任一与垂直的非零向量都有.当时，且时，也不能推出一定有,当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时,有,但．（3）数量积不满足结合律,即，这是因为是一个与共线的向量,而是一个与共线的向量,而与不一定共线,所以不一定等于,即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项.（4)非零向量夹角为锐角（或钝角）.当且仅当且（或，且题型归纳及思路提示题型1平面向量的数量积思路提示平面向量的数量积的计算有其定义式和坐标式，若告诉坐标或容易建立坐标系利用坐标计算,否则运用定义式．这里要考虑将向量尽可能转化为共线或垂直.一、平面向量的数量积例5.１9（1）在（)Ａ.-１6B.-８C.８D.16(2)(2012北京理13）已知正方形ABCD的边长为１,点E是ＡB边上的动点，则＿＿______;的最大值为___________．（3）在,M是BC的中点AM＝1，点P在AM上且满足，则等于()A．B．Ｃ．Ｄ.分析利用向量数量积的几何意义(投影）求解.解析（1)在=１6，故选Ｄ.（２）如图5-２５所示,，过点Ｅ作于点F，，所以.(3）如图5-26所示,因为点M是BC的中点，故，.故选A．变式1如图5－27所示，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，且，则=_＿＿_＿______＿＿.变式2在，若Ｇ为的重心,则＝＿____________.例5.20(20１2江苏9)如图5-２8所示，在矩形ABCＤ中，,点E为BC的中点，点F在边CD上,若的值是：_＿_＿__＿___＿＿_．解析解法1:用表示是关键．设,则．所以.所以，.解法二:向量数量积的坐标运算。以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系xAｙ,如图5-29所示.，设DFCAEBABCMP图5-25图5-26图5-27DOCAPB图5-28DFCABE图5-29DFCABExy由，得x＝1.则所以．变式1如图5-3０所示在是边BC上一点，＿_＿_＿＿___＿___＿.变式２如图５-31所示，在__＿__＿＿＿＿___.变式3(2012天津理７)已知为等边三角形,AＢ＝2.设点P,Q满足（）.A．B．C.D.例5．21已知向量满足则______＿____＿_.解析由得,所以．变式1在则=＿_＿_＿_______.变式2向量满足且则＿___＿＿．变式3设向量满足且若则__＿___＿＿_____.例5.2２设是单位向量且则的最小值为()．A．B.C.D.图5-30DCAB图5-31DCAB解析由又得显然最小值为。故选D.变式1已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足则的最大值是()A.１Ｂ.2C.D.变式２(2０１2安徽理14）若平面向量满足，则的最小值是:_＿＿__.例5.23在中,M是BC的中点，AM=3,ＢC=10,则=____＿_＿_____.解析如图5-３2所示,因为M为BC的中点，所以.评注利用中线向量求解,可得衍生结论，利用这一结论可求解向量数量积运算中有关中线向量所涉及的最值计算的问题，其变式题如下．变式１设，是边上一点,满足且对于边上任一点，恒有,则（）Ａ.B．C.Ｃ．变式２点P是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是(）．A.B．Ｃ.C.二.平面向量的夹角求夹角,用数量积，由得,进而求得向量的夹角．图5-32MCAB例5．２4已...