混沌时间序列分析理论与方法讲解VIP免费

混沌时间序列分析理论与方法主讲人：杨磊内容安排•混沌基本概念介绍•混沌识别方法•混沌序列相空间重构理论1.混沌基本概念介绍1.1混沌的起源和发展牛顿经典力学表明，力学系统服从确定的规律。即当初始条件确定后，力学系统就将按确定的轨道运动。在我们日常经验中，事物的一般重复现象很明显。这些现象似乎表明我们的世界是规则、和谐、有序的，自然现象的变化是周期的、重复的。1963年美国气象学家洛伦兹发现大气变化的非周期性，天气预报难就难在天气变化不是周期性的。混沌理论把混沌描述为无序的，非周期性的现象。自从科学家不懈地探索自然规律以来，无序、非周期性现象就一直被忽略。自然界中不规则的方面、不连续和不稳定的方面，一直是科学的难题，是无法理解的怪物。科学家常常把它们当做噪声或科学垃圾扔掉。而混沌不同于噪声，有其自身的规律。这正是科学家所要研究的1.2混沌的定义•非线性确定性系统中,由于系统内部非线性相互作用而产生的一种非周期的行为•对初始状态敏感，表现似周期、非周期和不可预报性的过程•在确定性的非线性动态系统中出现的貌似随机的、不能预测的运动。•对初始条件敏感的非线性确定性系统的动态，具有正的李雅普诺夫指数。1.3混沌运动的特点•对于初值条件的极端敏感依赖性该特征是指混沌不可无限预测，即使初始状态极为靠近的两点，随着时间也会呈指数函数扩大。•非周期性表明混沌的非线性和无序性•存在奇异吸引子吸引子是指相空间中的一点集或一个子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡后所有轨迹都趋向与它。对确定性系统来说，吸引子维数为整数，但混沌吸引子的维数却是分数，所以称为奇异吸引子。右上1：单摆吸引子右下2：Lorenz奇异吸引子2.混沌识别混沌识别主要包括定性和定量两种方法，定性方法主要通过揭示混沌信号在时域或频域中表现出的特殊空间结构或频率特性来判别，这种方法简单直观，但是过于笼统。定量方法通过计算混沌信号奇异吸引子的特性参数来辨别混沌行为的方法。主要有两个：(1)描述邻近轨道发散率的Laypunov指数(2)描述吸引子维数的关联维数和反映信息产生频率的Kolmogorov熵2.1Lyapunov指数混沌系统初值敏感性是指相空间中初始距离很近的两条轨迹会以指数速率发散，Lyapunov指数即是根据相轨迹有无扩散运动特征来判别系统的混沌特性。在相空间中，轨迹间的距离分别表现为线度、面积和体积。对一维映射x(t+1)=f[x(t)],假设初始位置x(t0)附近有一,则经过n次迭代后，有所以(0)(0)xtxt(1)(1)[()()]xtnxtnfxtnxtn[()]()'[()]fxtnxtnfxtn(1)()'[()]xtnxtnfxtnLyapunov定义：设相轨迹上两点之间的初始距离为，用表示经过n次迭代后该两点之间的距离，有则称为系统Lyapunov指数。当时，系统具有混沌特征。|(0)|xt|()|xtn10|()||(0)||'[()]||(0)|ntnixtnxtfxtixte101limln|'[()]|ntnifxtitn02.1.1Lyapunov求解原理在实际动力学混沌识别中，通常只估计最大Lyapunov指数，下面介绍一种算法——小数据量法。设混沌时间序列{x1,x2,…,xN},嵌入维数m，时间延迟，重构相空间后有：其中N=M+(m-1),在重构向空间后，寻找给定轨道上每个点的最近邻点，即(1)()(,,...,)(1,2,...,)niiiimYtxxxRiMˆ(0)min||||jjjXdYYˆ||jjp其中p为时间序列的平均周期，则最大Lyapunov指数就可以通过基本轨道上每个点的最近邻点的平均发散速率估计出来：其中为样本周期,dj(i)是基本轨道上第j对最近邻点对经过i个离散时间步长后的距离。最大Lyapunov指数的几何意义是量化初始闭轨道的指数发散和估计系统的总体混沌水平的量。因此，结合上式有：11()11()ln()(0)MijjjdiiitMidt1()(),(0)tjjjjdiCeCd将上式两边取对数可得：最大Lyapunov指数相当于上面这组直线的斜率，通过最小二乘法逼近这组直线得到：其中表示所有关于j的平均值。1ln()ln(),(1,2,...,)jjdiCitjM1()ln()jyidit2.1.2算法实现及计算步骤(1)计算延迟时间、嵌入维数m、平均周期p；(2)根据时间延迟、嵌入维数m重构相空间:(3)找相空间中...