2024年数列知识点归纳及例题分析VIP免费

《数列》知识点归纳及例题分析一、数列的概念:1.归纳通项公式:注重经验的积累例1.归纳下列数列的通项公式:(１)0，-3，8,-15，２4,....．.．(２)21，２1１,２1１1,21１11，......(3)2.与的关系:注意:强调分开，注意下标；与之间的互化（求通项)例２：已知数列的前项和，求.3.数列的函数性质：（1）单调性的判定与证明：定义法;函数单调性法（2）最大（小）项问题:单调性法;图像法（3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）例3:已知数列满足,，求．二、等差数列与等比数列1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处)ﻩ例题：例４(等差数列的判定或证明）:已知数列｛aｎ｝中，a1＝,an=2－(n≥2,ｎ∈N＊),数列{bｎ}满足ｂｎ＝(n∈Ｎ*)．(1)求证:数列{bn}是等差数列；(2)求数列{ａｎ}中的最大项和最小项,并说明理由．(1)证明 an＝２-(n≥2，n∈Ｎ*),ｂn＝．∴n≥2时，bn－bn-1＝-＝－＝－=1.∴数列{bn}是以－为首项，１为公差的等差数列．等差数列等比数列定义(是常数，…)(是常数,且,,…）通项公式推广：推广:求和公式中项公式(）（）重要性质1、等和性:(）2、（第二通项公式)及3、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：(下标成等差数列）4、成等差数列5、是等差数列1、等积性:（）2、（第二通项公式)及３、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：（下标成等差数列）4、成等比数列。（仅当公比且为偶数时,不成立)等价条件1．定义：an-an－１=ｄ（n≥2)是等差数列2．等差中项：2an+1=an+an＋2是等差数列3.通项公式:（为常数）是等差数列4.前项和：（为常数)是等差数列1.定义:(n≥2)是等比数列2.等比中项：是等比数列3.通项公式：（且为常数)是等比数列4.前项和:(且为常数）是非常数列的等比数列联系真数等比，对数等差;指数等差,幂值等比。(2)解由(1)知，bn＝ｎ－,则aｎ＝1＋=1＋，设函数ｆ(x)=1＋，易知ｆ（ｘ)在区间和内为减函数．∴当n=３时，ａn取得最小值－1;当n＝４时,ａn取得最大值３.例5(等差数列的基本量的计算)设a1,d为实数，首项为a１,公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sｎ,满足S5S６+15=０.（1）若Ｓ５＝5，求S6及a1(2)求d的取值范围.解(1)由题意知S6＝＝－3，a6=S６-Ｓ5=－8.所以解得a１=7，所以S6＝-3,a1=7.(2）方法一 Ｓ5S6+１５＝0，∴(5a1＋10d）(6a1＋１５ｄ)＋15＝0，即2a＋9da1+１0d2＋１＝0.因为关于a1的一元二次方程有解，所以Δ＝８1d2-8(10d２+1）＝d2－8≥0，解得d≤－2或d≥2．方法二 S5S6+1５=0,∴(5a1+10d）(6a1＋15ｄ)＋1５=0，９ｄa1+１0ｄ2+1=0．故(4ａ1＋9ｄ)２＝d2－8.所以d2≥8．故d的取值范围为d≤-2或ｄ≥2.例6（前n项和及综合应用）（1)在等差数列{an}中，已知a1=2０，前n项和为Sn，且Ｓ10=S１5，求当ｎ取何值时,Ｓn取得最大值,并求出它的最大值;(2)已知数列{ａn}的通项公式是an=4n-２5,求数列{|an|}的前n项和．解方法一 a1＝20,S1０=S15，∴１0×20+d=１5×20+d,∴d=－.∴ａn=２0+（n-１)×=-n+.∴a13=0，即当n≤12时,ａn>0,n≥14时，an<0,∴当n=１2或13时,Sｎ取得最大值，且最大值为S13=S12＝１２×２0＋×＝1３0.方法二同方法一求得ｄ=-.∴Sn=20n+·＝－n２＋ｎ=-2+． n∈Ｎ＊,∴当ｎ＝12或1３时,Sn有最大值，且最大值为S1２＝S1３=１3０．（2) ａｎ=4ｎ－２5，an+１＝４(n＋1）-25,∴ａn＋1－an=4=d，又a1=4×1-２５=－2１.所以数列｛an}是以-21为首项，以4为公差的递增的等差数列.令由①得n<6;由②得n≥5,所以n=６.即数列{|aｎ|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为４的等差数列,而|a7|＝a７＝4×7-2４=3.设{｜aｎ|}的前ｎ项和为Tｎ，则Tn＝=例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30,则其公差为３例8等差数列的前n项和分别为，且,则使得为正整数的正整数n的个数是3.(先求aｎ/bｎn=5，13，35）例9已知数列中，，当时，其前项和满足,则数列的通项公式为例10在数列中,,,则.例1１设的等比中项,则a+3ｂ的最大值为2.例１2若数列1,2ｃosθ,22coｓ2θ，２3cｏs3θ,…,前100项之和为0,则θ的值为()...