球面距离的计算经典范例 1．位于同一纬度线上两点的球面距离 例1 已知，B两地都位于北纬，又分别位于东经和，设地球半径为，求，B的球面距离． 分析：要求两点，B的球面距离，过，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角的大小（见图1），而要求往往首先要求弦的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离． 解 作出直观图（见图2），设为球心，为北纬圈的圆心，连结，，，，．由于地轴 平面 ． ∴与为纬度，为二面角的平面角． ∴（经度差）． △中，． △中，由余弦定理， ． △中，由余弦定理： ， ∴． ∴的球面距离约为． 2．位于同一经线上两点的球面距离 例2 求东经线上，纬度分别为北纬和的两地，B的球面距离．（设地球半径为）．（见图3） 解 经过 两地的大圆就是已知经线． ，． 3．位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离 例3 地位于北纬，东经，B地位于北纬，东经，求，B两地之间的球面距离．（见图4） 解 设为球心，，分别为北纬和北纬圈的圆心，连结，，． △ 中，由纬度为知， ∴， ． △ 中，， ∴， ∴． 注意到与是异面直线，它们的公垂线为，所成的角为经度差，利用异面直线上两点间的距离公式． （为经度差） ． △ 中， ． ∴． ∴的球面距离约为． 球面距离公式的推导及应用 球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离，常见问题 是求地球上两点的球面距离。对于地球上过A、B两点大圆的劣弧长由球心角AOB的大小确定，一般地是先求弦长AB，然后在等腰△AOB中求∠AOB。下面我们运用坐标法来推导地球上两点球面距离的一个公式。 地球球面上的点的位置由经度、纬度确定，我们引入有向角度概念与经度、纬度记法：规定东经为正，西经为负；北纬为正，南纬为负（如西经30º为经度α =-30º，南纬40º为纬度β =-40º ），这样简单自然，记球面上一点A的球面坐标为A（经度α ，纬度β ），两标定点，清晰直观。 设地球半径为R，球面上两点A、B的球面坐标为A（α1，β1），B（α2，β2），α1、α2∈[-π ，π ]，β1、β2∈[-2，2]，如图，设过地球O的球面上A处的经线与赤道交于C点，过B的经线与赤道交于D点。设地球半径为R；∠AOC=β1，∠BOD=β2，∠DOC=θ =α1-α2。 另外，以 O为原点，以 OC所在直线为X轴，地轴所在直线 ON为Z轴建立坐标系 O-XYZ（如图）。则 A（Rcosβ1...
