1. 证明:BAAB的充要条件是AB. 证明:若BAAB,则ABAAB,故AB成立. 反之,若AB,则BAABABB,又xB ,若xA,则 xBAA,若xA,则xBABAA. 总有xBAA.故 BBAA,从而有BAAB。 证毕 2. 证明cABAB. 证明:xAB ,从而,xA xB,故,cxA xB,从而xAB , 所以cABAB. 另一方面,cxAB ,必有,cxA xB,故,xA xB,从而xAB, 所以 cABAB. 综合上两个包含式得cABAB. 证毕 3. 证明定理 4 中的(3)(4),定理 6(De Morgan 公式)中的第二式和定理9. 证明:定理 4 中的(3):若AB( ),则AB. 证:若xA,则对任意的 ,有xA,所以 AB( )成立 知 xAB,故xB,这说明AB. 定理 4 中的(4):()()()ABAB. 证:若()xAB,则有' ,使 ''()()()xABAB. 反过来,若()()xAB则xA或者 xB. 不妨设 xA,则有' 使'''()xAABAB. 故()()()ABAB. 综上所述有()()()ABAB. 定理 6 中第二式()ccAA. 证:()cxA ,则xA,故存 在' ,'xA所 以'ccxAA从而有()ccAA. 反过来,若cxA,则' 使'cxA,故'xA, xA ,从而()cxA ()ccAA. 证毕 定理 9:若集合序列12,,,,nA AA单调上升,即1nnAA(相应地1nnAA)对一切n 都成立,则 1limnnnA (相应地)1limnnnA . 证明:若1nnAA对nN 成立,则imi mAA.故从定理8 知 11liminfnimnmi mmAAA 另一方面,m n,令mii mSA,从1mmAA对mN成立知 11111()()mimimiimi mi mi mi mSAAAAAAS.故定理8 表明 1111limsupliminfnimmnnnmi mmmAASSAA 故1limlimsupliminfnnnm...