第二节一阶常系数线性差分方程

1 第二节 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为 y t+1 +ay tf(t) (1 1 2 1 ) 和 y t+1 +ay t0 ， (1 1 2 2 ) 其中f(t)为t 的已知函数，a≠0 为常数． 我们称方程(1 1 2 1 )为一阶常系数非齐次线性差分方程，(1 1 2 2 )称为其对应的齐次差分方程． 一、 齐次差分方程的通解 将方程(1 1 2 2 )改写为： y t+1 ay t, t0 ,1 ,2 ,…． 假定在初始时刻(即t0 )时，函数y t 取任意值A，那么由上式逐次迭代，算得 y 1 ay 0 aA, y 2 ay 1 (a)2 A, ……………… 由数学归纳法易知，方程(1 1 2 2 )的通解为 y t A(a)t, t0 ,1 ,2 ,…． 如果给定初始条件t0 时y ty 0 ,则Ay 0 ,此时特解为： y t y 0 (a)t． （1 1 2 3 ） 二、 非齐次方程的通解与特解 求非齐次方程(1 1 2 1 )的通解的常用方法有迭代法、常数变易法，求非齐次方程(1 1 2 1 )的特解的常用方法为待定系数法． １． 迭代法求通解 将方程(1 1 2 1 )改写为 y t+1 (a)y t+f(t), t0 ,1 ,2 ,…． 逐步迭代，则有 y 1 (a)y 0 +f(0 ), y 2 (a)2 y 0 +(a)f(0 )+f(1 ), y 3 (a)3 y 0 +(a)2 f(0 )+(a)f(1 )+f(2 ), ……………… 由数学归纳法，可得 y t(a)ty 0 +(a)t1 f(0 )+(a)t2 f(1)+… +f(t1 )(a)ty 0 +ty , (t0 ,1 ,2 ,…)， （1 1 2 4 ） 其中 ty (a)t1 f(0 )+(a)t2 f(1 )+…+f(t1 )10)(tiia·f(ti1 ) （1 1 2 5 ） 为方程(1 1 2 1 )的特解．而y A(t)(a)ty 0 为(1 1 2 1 )对应的齐次方程(1 1 2 2 )的通解．这里 y 0 A为任意常数．因此，(1 1 2 4 )式为非齐次方程(1 1 2 1 )的通解． 与一阶非齐次线性微分方程相类似，方程(1 1 2 1 )的通解(1 1 2 4 )也可以由齐次方程(1 1 2 2 )的通解(1 1 2 3 )经由常数变易法求得，这里不予赘述． 2 例1 求差分方程y t+1 21y t2t 的通解． 解 方程为一阶非齐次线性差分方程．其中a 21,f(t)2t．于是由非齐次方程的特解公式(1125)有 ...