基本不等式非常全面

基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若a,b  R ，则a2  b2  2ab2）若a,b  R ，则ab  a 2  b 2（22、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b  R*，则a  b  2 ab3、基本不等式的两个重要变形（1）若a,b  R*，则 a  b2ab（2）若a,b  R*，则ab   a  b 22总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当 a  b 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论（1）若 x  0 ，则 x  1x  2 (当且仅当 x 1时取“=”）（2）若 x  0 ，则 x  1x  2 (当且仅当 x  1 时取“=”）（3）若ab  0 ，则 ab  ba  2 (当且仅当a  b 时取“=”）（4）若a,b  R ，则ab  (a  b2a2  b22 ) 2（5）若a,b  R*，则1a2  b211 ab  a  b22a  b特别说明：以上不等式中，当且仅当a  b 时取“=”6、柯西不等式（1）若a,b,c,d  R ，则(a2  b2)(c2  d 2)  (ac  bd)2（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3  R ，则有：(a 221  a2  a 23 )(1b 21  b 22  b 23 )  (a1b1  a2b2  a3b3)2（3）设a1,a2,,an与b1,b2,,bn 是两组实数，则有(a 2221  a2    a 2n )(b 21  b2    b 2n )  (a1b1  a2b2    a2nbn)二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设a,b 均为正数，证明不等式:ab ≥ 211a  b2 、 已 知 a,b,c 为 两 两 不 相 等 的 实 数 ， 求 证 ：a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca3、已知a  b  c 1，求证：a2  b2  c2  134、已 知 a,b,c R ， 且 a  b  c 1 ， 求 证 ：(1 a)(1b)(1 c)  8abc5、已 知 a,b,c R ， 且 a  b  c 1 ， 求 证 ：1 1 a 1 b 11 c 1 86、（2013 年新课 标Ⅱ卷数学（理）选修 4—5：不等式选讲题型二：利用不等式求函数值域设 a,b,c 均为正数,且a  b  c 1,证明: bc  ca ...