5.3定积分的换元法和分部积分法习题

第5 章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法和分部积分法 习题解 1 1．计算下列定积分： ⑴3sin()3xdx； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 3sin()3xdx3sin() ()33xd x3cos()3x  [cos()cos()]333 [ cos( cos)]033   。 【解法二】应用定积分换元法 令3xu，则dx du，当 x从 3单调变化到 时，u 从 23单调变化到 43，于是有 3sin()3xdx4323sinudu 4323cosu 42[coscos]33  [ cos( cos)]033   。 ⑵132 (11 5 )dxx； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 132 (115 )dxx1321(115 )(115 )5xdx2 1211 (115 )52x  22111[]10 (115 1)(11 5 2)   211(1)10 16 51512。 【解法二】应用定积分换元法 令115xu，则15dxdu，当 x从 2 单调变化到 1时，u 从 1单调变化到16，于是有 132 (115 )dxx163115u du 2 1611152 u 211(1)10 16 51512。 ⑶320sincosd ； 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 320sincosd 320coscosd 4201 cos4 441[coscos 0]42  第5 章 定积分及其应用 5.3 定积分的换元法和分部积分法 习题解 2 1[0 1]4 14。 【解法二】应用定积分换元法 令cosu ，则sinddu ，当 从0单调变化到2时，u 从1单调变化到0，于是有 320sincosd 031u du 130u du 4 1014 u14。 ⑷30(1 sin)d； 【解】被积式为3(1 sin)d，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。由于1是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对3sind  的积分，这是正、余弦的奇数次 幂 的积分，其一 般 方 法是应用第一 换元法，先 分出 一 次 式 以 便 作 凑 微 分：sincosdd  ，余下的22sin1 cos ，这样得到的2(1 cos) cosd便为变量代换做好了准备。具体的变换方式有如下两种： 【解法一】应用牛顿-莱布尼兹公式 30(1 sin)d2001sinsindd 200(1 cos) cosd 301(coscos)3...