1 2 0 第7章 常微分方程初值问题数值解法 本章探讨常微分方程特解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍求常微分方程初值问题的常用方法和有关知识。 重点论述Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法的原理、构造、局部截断误差和稳定性等内容。 121 7.1 实际案例 工程技术里某些振动问题可以表示为单摆的运动，其运动规律的微分方程为： sin0(0)30(0)0gl 怎样求出其特解( )t？ 该微分方程不能用通常的解析方法来求解！ 怎样解不能用解析方法求解的微分方程特解问题是本章要解决的问题。 1 2 2 7.2 问题的描述和基本概念 1、常微分方程初值问题 一般形式 0( ,)( )yfx yy ay ()axb （7.1） 式中( ,)fx y 已知，0( )y ay称为初值条件。 初值问题的数值方法和数值解 求 函 数( )yy x在 若 干 离 散 点kx 上 的近 似 值(0 ,1 ,,)kykn的方法称为初值问题的数值方法，而称(0 ,1 ,,)kykn为初值问题的数值解。 1 2 3 2. 建立数值解法的思想与方法 微分方程初值问题的数值解法是用离散化方法将初值问题化为差分方程后再求解的方式。 设区间[a ,b ]上的一组节点为 01naxxxb 距离1kkkhxx称为步长。 求数值解一般是从0y 开使逐次顺序求出12,,yy 。 初值问题的解法有单步法和多步法两种。 单步法：计算1ky 时只用到ky 一个值； 多步法：计算1ky 时要用1,,,kkklyyy多个值。 数值解法的显格式和隐格式。 1 2 4 微分方程基本的离散化方法 数值微分法，数值积分法和Taylor展开法。 常微分方程初值问题化为差分方程 1、 用离散方法去掉方程中的导数'y 得到近似离散化方程； 2、 在近似离散化方程中用ky 代替()ky x； 3、 在近似离散化方程中将近似号“ ”用等号“=”代替。 1 2 5 1) 数值微分法 由初值问题（7.1）有'()(,())kkkyxfxy x，用数值微分的2点前差公式代替'()kyx，得近似离散化方程 11()()'()(,())kkkkkkky xy xyxfxy xxx 记1kkhxx，做()kkyy x，“ ”，得差分方程 1(,)kkkkyyfxyh 写容易计算的形式 1(,)kkkkyyhfxy (0 ,1 , 2 ,,1 )kn （7.2） （Euler公式） 由初值条件0( )yy a及式（7.2）可求出（7.1）的数值解12,,,nyyy。公式（7.2）...
