2.5 三维显示有限差分基本方程 当FLAC3D 达到平衡或是稳定的塑性流动时，它通过显示有限差分来模拟三维连续介质的力学行为。监控的力学响应主要是通过特殊的数学模型和数值计算过程得到。接下来介绍这两方面。 2.5.1 数学模型描述 介质的力学行为主要来源于一般原理（应变定义、运动规律），和理想材料的本构关系。这个数学结果表达式通常是一些偏微分方程，涉及到力学（应力）和运动学（应变率、速度）变量。这些偏微分方程联合个别的几何关系、材料参数，以及给定的边界条件和初始条件就可以求解。 虽然 FLAC3D 在平衡状态附近，主要关注介质的应力状态和变形，但是必须要注意到该数学模型中的运动方程。 （1） 符号约定 在 FLAC3D 中采用拉格朗日算法，介质中的一个点，通过矢量iiixuv，，和1 3idv dti ，，来定义一个点的坐标，位移，速度和加速的。记号ia 表示矢量 a的第i 个分量，在笛卡尔坐标系中；ijA 表示张量 A 的第（i，j）个分量。ia，表示变量对ix 的偏导数。（变量 a可以使标量，矢量和张量） 默认结构受 拉为正 ，变形伸 长 为正 。爱 因 斯 坦 求和记号只 针 对下标，i，j，k（i，j，k=1，2，3）。 （2） 应力 介质中一已 知 点的应力状态是通过对称 应力张量ij来表示。任 意斜 面上 的应力矢量 t 可以通过柯 西 公 式得到（拉为正 ），如 下： iijjtn （2.37） n 表示任 意斜 面上 的单 位法向 矢量 （3） 应变率和转 动率 假 设 介质的离 子 以张量 v 运动。在一个无 限短 时间 dt 内 ，介质产 生 一个无限小 的应变为iv dt ，相 关的应变率张量可以写 成 如 下： ,,12iji jj ivv （2 .3 8 ） 第一应变率张量不变量描述了体积单元的的膨胀程度。张量ij 中没有包含变形率，由于速度矢量的平移和角速度的转动，一个体积单元会产生一个瞬间的刚体位移，如下： 12iijkjke （2 .3 9 ） ijke 表示置换符号，矢量 表示转动率张量，定义如下： ,,12iji jj ivv （2 .4 0 ） （4 ） 运动平衡方程 采用连续介质的动量原理和柯西公式，平衡方程如下： ,iij jidvbdt （2 .4 1 ） 为介质的密度， b 表示单位体力， d vdt 表示速度矢量对时间的导数。当力开始施加到介质上，平衡方程贯穿在整个的数学...
