抛物线考点与题型归纳

抛物线考点与题型归纳一、基础知识1．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程和几何性质标准y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离方程图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向焦半径(其中P(x0，y0))二、常用结论与抛物线焦点弦有关的几个常用结论设 AB 是过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，α 为弦 AB 的倾px＝－2x≥0，y∈R向右p|PF|＝x0＋2px＝2x≤0，y∈R向左p|PF|＝－x0＋2pF2，0x 轴p－ ，0F2e＝1py＝－2y≥0，x∈R向上p|PF|＝y0＋2py＝2y≤0，x∈R向下p|PF|＝－y0＋2p0， F2O(0,0)y 轴p0，－ F2斜角．则p2(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.4pp(2)|AF|＝，|BF|＝.1－cos α1＋cos α2p(3)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2 .sin α112(4)＋＝ .|AF||BF|p(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切．考点一抛物线的定义及应用[典例](1)若抛物线 y2＝4x 上一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则△OFP的面积为()1A.23C.2B．1D．2(2)设 P 是抛物线 y2＝4x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．[解析](1)设 P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.又点 P 到焦点 F 的距离为 2，∴由定义知点 P 到准线的距离为 2.∴xP＋1＝2，∴xP＝1.代入抛物线方程得|yP|＝2，11∴△OFP 的面积为 S＝ ·|OF|·|yP|＝ ×1×2＝1.22(2)如图，过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为 4.[答案](1)B(2)4 [变透练清]1．若抛物线 y2＝2px(p＞0)上的点 A(x0， 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于()1A.2B．13C.2D．2p解析：选 D由抛物线 y2＝2px 知其准线方程为 x＝－ .又点 A 到准线的距离等于点 A2pppp22到焦点的距离，∴3x0＝x0＋ ，∴x0＝ ，∴A4， 2. 点 A 在抛物线 y ＝2px 上，∴＝2. p242＞0，∴p＝2.故选 D.2.变条件若将本例(2)中的 B 点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．解析：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部．因为...