1 第6章 分离性公理 §6.1 ,Hausdorff空间 本节重点: 掌握空间的定义及它们之间的不同与联系； 掌握各空间的充要条件； 熟记常见的各种空间. 与前两章的连通性公理和可数性公理一样，分离性公理也是拓扑不变性质。 回到在第二章中提出来的，“什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来”这一问题． 为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．我们将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量空间的拓扑性质逐步建立起来的．对诸分离性的充分研究使我们在§6.5 中能够对于前述问题作一个比较深刻的（虽然不是完全的）回答． 引入： 例 对于度量空间 X，如果 x，y∈X，∀ x、y ，当 x ≠ y时 ，x、y之间应该有一个距离，这个距离用 d(x,y)表示， 定义 6.1.1 设 X 是一个拓扑空间，如果 X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一个点（即如果 x，y∈X，x≠y,则或者 x 有一个开邻域 U使得 yU,或者 y 有一个开邻域 V使得 xV)，则称拓扑空间 X是一个空间． 2 拓扑空间自然不必都是空间，例如包含着不少于两个点的平庸空间就不是空间． 定理6.1.1 拓扑空间X 是一个空间当且仅当X 中任意两个不同的单点集有不同的闭包．（即如果x，y∈X，x≠y，则．） 证明 充分性:设定理中的条件成立．则对于任何x，y∈X，x≠y，由于，因此或者成立，或者成立．当前者成立时，必定有 ．（因为否则).这推出 x有一个不包含y 的开邻域．同理，当后者成立时，y 有一个不包含x 的开邻域．这证明 X 是一个空间． 必要性:设 X 是一个空间．若 x，y∈X，x≠y，则或者 x 有一个开邻域 U使得或者 y 有一个开邻域 V使得．若属前一种情形，由于，若属后一种情形，同样也有． 定义 6.1.2 设 X 是一个拓扑空间．如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一个点，则称拓扑空间X 是一个空间． 空间当然是空间．但反之不然．例如设 X={0,1}，T={,{0},X},则 T是X 的一个拓扑，并且拓扑空间(X，T)是的但不是的．（请读者自己验证，） 定理6.1.2 设 X 是一个拓扑空间，则以下条件等价： （1）X 是一个空间； （2）X 中每一个单点集都是闭集； 3 （3）X 中每一个有限子集都是闭集． 证明 （1）蕴涵（2）．设x∈X．当 X 是一个空间时，对于任何 y∈X，y≠x，点 x 有一个邻域 U 使得，即.这证明单点集{...
