《随机过程》第6章习题及参考答案

湖南大学本科课程《随机过程》第6 章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 1 . 给定实数x 和一个平稳随机过程( )X t ，定义理想门限系统的特性为 1( )( )0( )X txY tX tx  试证：(1 ) [ ( )]( )XE Y tFx；(2 ) ( )]( , , )YXRFx x 证：(1 ) ( )Y t 在任意时刻为只有两种取值1 ,0 的随机变量，则 [ ( )]1{ ( )1} 0{ ( )0}{ ( )1}{( )}( , )( ) ()XXE Y tP Y tP Y tP Y tP X txFx tFx  根据平稳性 (2 )根据相关函数定义，有 ( )][ () ( )]1 1{ ()1, ( )1}0 1{ ()0, ( )1} 1 0{ ()1, ( )0}0 0{ ()0, ( )0}{ ()1, ( )1}{(),( )}( , ;, )( , ; ) ()YXXRE Y tY tP Y tY tP Y tY tP Y tY tP Y tY tP Y tY tP X tx X txFx x ttFx x        根据平稳性 2 ．设平方律检波器的传输特性为2yx，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程( )X t ，其概率密度函数为 221()( )exp{}22XXXxafx 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a 时结果有何变化。 解：根据题意，( )X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为： 00( )( )cos()( )sin()CSX taA ttA tt 其中( )CAt 、( )SA t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0 、方差为2X的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号 22002222200000( )[( )cos()( )sin()]1111( )( )2( )cos()( )cos(2)( )cos(2)2222 2( )sin()( )( )sin(2)CSCSCCSSCSXtaA ttA ttaAtAtaA ttAttAttaA ttA t A tt 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为 2221( )[( )( )]2CSZ taAtAt 由于随机变量( )CAt 、( )SA t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122( )( )( )CSXXAtAtZ t服从自由度为2 的卡方分布，即 1112 1/22/211221( )22(2 / 2)zzZzefze 221( )( )2X Z tZ ta，2122[ ( )]( )[ ( )]XZ taZ th Z t，根据随机变量函数的概率密度关系，( )Z...