一个圆柱表面最短路径问题的解决 陕西师范大学数学系 (710062) 罗增儒 本文展示一个圆柱表面最短路径问题的流行误解和探索轨迹,并提供最终解决. 1 一个流行误解的探索轨迹 1 -1 误解的呈现 有一个流行的误解已经引起了部分人们的注意,但还没有被大家全都认识,请看: 例1 (文[1] P.6 说)在讲授平面展开图时我设计了这样一个题目:如图1,一只圆筒的下方有一只小壁虎A ,上方有一只蚊子C .现在小壁虎要想尽快吃到蚊子,它应该走哪条路径?请你帮小壁虎设计一条路线,具体怎么操作呢. 文[1]继续说:“学生小组讨论,自主合作,共同探讨,鼓励学生发表自己的观点,充分肯定学生的积极参与性,让学生通过探索发现将圆 筒沿着一条棱展开就可得出解法的方法.” 图1 文[1]没有说学生具体怎么计算 ,但从 图形 没有出现上底 直 径、 展开没有提到上下底 等迹象 可以 猜 测 :学生的“探索发现”形 同下面的例2(将圆筒沿着一条棱展开). 例2 (2005 年 贵 阳 (课 改 )中 考 )如图2,一圆柱体的底 面周 长 为 24cm ,高 AB 为4cm ,一只蚂 蚁 从 点A 出发沿着圆柱体的表面爬 行到C 点的最短路程 大约 是 ( ). (A)6cm (B)12cm (C)13cm (D)16cm 图2 图3 解 把 圆柱体沿母 线AB 展开,得图3 所 示的矩 形 ,从 A 点到C 点的最短路程 就是 线段 AC 的长 (路径L ).因 为 BC 的长 是 底 面圆的周 长 的一半 12cm ,高 AB 的长 是 4cm ,所 以 在直 角ABC 中 ,由 勾 股 定理 得 22224124 1013ACABBC(cm ). 答 案 选 (C). 这种 处 理 对 吗 ?我们说,如果 这正 是 例1 学生“小组讨论,自主合作,共同探讨”得出的方法的话 ,那 么师生们就全都陷 进 了“流行的误解”,而 教 师则 还没有尽到指 导 的责 任 .(也可能 是 没有看清 “表面”与“侧 面”的微 小区 别 ) 1 -2 误解的剖 析 首 先 指 出,上述 例1、 例2 的处 理 中 有三 个“化 归 ”是 很 好 的: 化 归 1 :把 一个实 际 问题转 化 为 一个数学问题; 化 归 2 :把 一个空 间 问题转 化 为 平面问题; 化 归 3 :把 一个平面问题转 化 为 解直 角 三 角 形 .(用 到两 点之 间 直 线距 离 最短) 但是 ,在把 空 间 图形 ...