一元二次不等式知识点讲解及习题

第二节：一元二次不等式 1、概念：形如（其中 a 不等于 0）的不等式叫做一元二次不等式； 2、解集的求法：求一般的一元二次不等式的解集，我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程的根的关系，先求出一元二次方程的= 0的根，再根据函数图像与 x轴的相关位置确定一元二次不等式的解集。 3、列表如下： 3、一元二次不等式解法的逆向思维：给出了一元二次不等式的解集，则可知 a的符号和方程的两根，由韦达定理可知 a,b,c之间的关系。 4、 含 有 参 数 的 不等式的 解 法 ：解 含 有 参 数 的 一元二次型的不等式。 （1） 要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行讨论。 （2） 转化为标准形式的一元二次不等式（即二次项系数大于零）后，再用判别式与零的大小关系作为分类标准进行讨论 （3） 如果判别式大于零，但两根韩式不能确定，此事再以两根的大小作为分类标准在进行分类讨论； 5、分式不等式的解法：解分式不等式的思想是把分式不等式转化为整式不等式，即：)x(g)x(f>0 转化为 f(x)g(x)>0 )x(g)x(f转化为 f(x)g(x)<0 注意：解此类分时式不等式时，转化为整式不等式后，应注意分子可以取零，但是分母不可以取零。 6、一元高次不等式的解法：数轴穿根法 （1）将 f(x)最高次项的系数化为正数 （2）将 f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积。 （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意：重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过） （4）根据曲线显现出的f(x)值得符号变化规律，写出不等式的解集 （解普通一元二次不等式） 例 1、(1) x2 +3x-10<0; (2)3 x2 +5x-2>0 （跟踪训练）(1)- x2 +4x-5>0 （2）9 x2 -6x+1>0 (3) -3x2 -2x+8≤0 (不等式恒成立问题) 例 2 、(1)3x2 +x-4>0 (2) x2 +2x+3＞0 (含有绝对值的不等式) 例 3、(1)x2 -2|x|-3>0 (2) 2x2 +|4x+3|＜0 （跟踪训练） （1）︱2x-1︱＜3 (2)︱2x2 -x-1︱≥1 (含有参数的不等式) 例4、(1)56 x2 -ax-a2 <0 (2) -x2 +(a-1)x+ a>0 （3）ax2 -(a+1)x+1＜0 （分式不等式） 例5、（1）213xx≤-1 xx241＞0 （一元高次不等式） 例 6 （1）0322322xxxx (2) (x-2)2(x-3)3(x+1)>0. (跟踪训练) （1）(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0. (2)123422xxxx (思考) (x-x2+12)(x+a)<0. （韦达定理与一元二次方程） 例7、已知一元二次不等式ax 2 +bx+1＞0的解集为｛x︱-1＜x＜31 ｝，则ab的值为 （一些恒成立问题） 例8、已知不等式x2 +ax+4＜0解集为空集，求a的取值范围 （跟踪训练1 ）当a为何值时，不等式（a2 -1）x2 -(a-1)x-1＜0的解集是全体实数。 （跟踪训练2 ）若对 x∈R，ax2 +4x+a≥-2x2 +1恒成立，求实数a的取值范围。