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一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

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一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解: 方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ 解得; 方程(2)没有实数根, ∴ 解得; 于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程(1)为,无整数根; 当时,方程(1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。 总结:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。 分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定 或的正负情况。 解: ,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, <0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例 2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一:把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: , 解得: ∴方程的另一个根为4,的值为3 或—1。 解法二:设方程的另一个根为, 根据题意,利用韦达定理得: , ,∴把代入,可得: ∴把代入,可得: , 即 解得 ∴方程的另一个根为4,的值为3 或—1。 总结:比较起来,解法二应用了韦达定理,解答起来较为简单。 例 3:已知方程有两个实数根,且两个根的平方和比两根的积大 21,求的值。 分析:本题若利...

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