一阶线性非齐次微分方程求解方法归类

一阶线性非齐次微分方程 一、线性方程 方程 dydxP x yQ x( )( ) 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x( )  0，则方程称为齐次的； 如果 Q x( ) 不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a) 首先，我们讨论 1 式所对应的齐次方程 dydxP x y( )0 2 的通解问题。 分离变量得 dyyP x dx  ( ) 两边积分得 ln( )lnyP x dxc  或 yc eP x dx  ( ) 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1 的通解。 将 1 的通解中的常数c换成的未知函数u x( ) ，即作变换 y u eP x dx   ( ) 两边乘以得 P xyuP x eP x dx( )( )( ) 两边求导得 dydxu euP x eP x dxP x dx ( )( )( ) 代入方程1 得 u eQ xP x dx( )( ) ，  uQ x e P x dx( )( ) ucQ x edxP x dx( )( ) 于是得到非齐次线性方程1 的通解 yecQ x edxP x dxP x dx( )( )( ) 将它写成两项之和 yc eeQ x edxP x dxP x dxP x dx( )( )( )( ) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dydxyxx21132() 的通解。 解：]23)1([1212dxexceydxxdxx ]23)1([22)1(ln)1(lndxexcexx ()[()]xcxdx11212 ()[()]xcx121212 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。 以下几类为一阶微分方程的简捷求法 1 预备知识 形如 ( )( )dyP x yQ xdx  (1) 的方程称为一阶线性方程.这里( )P x 、( )Q x 在所考虑的区间上是连续的.当( )0Q x 时,方程(1)变为 ( )0dyP x ydx  (2) 方程(1)(( )0Q x )称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程.方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解. 形如 ( )( )ndyP x yQ x ydx  (0 ,1 )n  (3) 的方程称为伯努利方程.它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解. 现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解. 2 主要结果 定理 1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式 '( )( )( )nn...