三角形的四心和特殊三角形

三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图1 ，在三角形ABCV中，有三条边,,AB BC CA ，三个角,,ABC行? ，三个顶点, ,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D、E、F 分别为ABCV三边BC、CA、AB 的中点， 求证 AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE，设AD、BE 交于点G ， Q D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE//AB ，且12DEAB=， GDE\V∽ GABV，且相似比为1：2， 2,2AGGD BGGE\==. 设AD、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AGG D CGG F== 则G 与'G 重合， \ AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成2:1. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 例 2 已知ABCV的三边长分别为 ,,BCa ACb ABc===，I为ABCV的内心，且I在ABCV的边BCACAB、、上的射影分别为DEF、、，求证：2bcaAEAF+-==. 证明 作ABCV的内切圆，则DEF、、分别为内切圆在 三边上的切点， ,AE AFQ为圆的从同一点作的两条切线，AEAF\=， 同理，BD=BF，CD=CE. 22bcaAFBFAECEBDCDAFAEAFAE\ +-=+++--=+== 即2bcaAEAF+-==. 例 3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 图2 1 求证 三角形ABC 为等边三角形. 证明 如图，连AO 并延长交BC 于D. Q O 为三角形的内心，故AD 平分BACÐ， ABBDACDC\=（角平分线性质定理） Q O 为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC. 1ABAC\=，即ABAC=. 同理可得，AB=BC. ABC\ V为等边三角形. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图） 例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABCV中，,ADBCD BEACE^^于于，AD 与BE 交于H 点. 求证 C HA B^. 证明 以CH 为直径作圆， ,,90 ,oADBC BEACHDCHEC^^\ ??Q DE\、在以CH 为直径的圆上， FCBDEH\ ??. 同理，E、D 在以AB 为直径的圆...