三角法与向量法解平面几何题(正)

1 第27 讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2abcp,则 1,正弦定理:2sinsinsinabcRABC, 2,余弦定理:2222cosabcbcA,2222cosbacacB,2222coscababC. 3,射影定理:coscosabCcB,coscosbaCcA,coscoscaBbA. 4,面积:211sin2sinsinsin224aabcSahabCrpRABCR = (sinsinsin)rRABC=()()()p papb pc 2221 (cotcotcot )4 aAbBcC. A 类 例题 例1 ．在ΔABC 中，已知b=asinC ,c=asin(900-B)，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin(900 - B) = acosB = cbcaacbcaa22222222 22222cbca 是直角Abca222 1sinsinsinAACcAa是直角CacCcasinsin. CabsincbΔABC 是等腰直角三角形。 例2 ．（1）在△ABC 中，已知cosA =135，sinB = 53，则cosC 的值为（ ） A．6516 B．6556 C．65566516 或 D． 6516 解 C =   (A + B),∴cosC =  cos(A + B),又 A(0, ),∴sinA = 1312,而sinB = 53 显然sinA > sinB ,∴A > B , A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 54 ∴cosC =  cos(A + B) = sinAsinB  cosAcosB =651654135531312.选A. 说明 △ABC 中,sinA > sinB  A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt△ABC 中，C＝90°，A＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ， 2 当θ为 时，Rr 的值最小。 解答 由题意，R＝2c，r＝2abc．（其中a、b、c 为Rt△ABC 的三条边长，c 为斜边长）∴Rr ＝cabc＝ 1sincos1 ＝ 12 sin() 14 ． sin（α＋4）≤1，∴Rr ≥121＝2 ＋1． 当且仅当θ＝4时，Rr 的最小值为2 ＋1。 例3 在△ABC 中，tantantantanABAB＝cbc，求证：B、A、C 成等差数列。 分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系，而要证的结论只有角的关系，故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C 成等差数列的充要条件是A＝60°,故应证A＝60°。 证明 由条件得 sin()sin()ABAB＝sinsinsinCBC． sin（A＋B）＝sinC， ∴sin（A－B）＝sinC－sinB，∴s...