上海大学高等代数历年考研真题

1 2000 上海大学 高等代数 (一) 计算行列式:acccbaccbbacbbba (二) 把二次型414332214321),,,(xxxxxxxxxxxxf用非退化线性替换化成平方和. (三) BA ,分别为mn 和 mn矩阵, nI表示 nn单位矩阵.证明: mn阶矩阵0nAIXB 可逆当且仅当 B A 可逆，可逆时求出 X 的逆. (四) 设12,neee  是 n 维线性空间nV 的一组基，对任意 n 个向量12,naaa  nV，证明：存在唯一的线性变换 A ，使得(),1, 2iiA eain  (五) 设 A 是 n 维线性空间V 的线性变换，求证：1 (0 )VA VA 当且仅当若12,raaa  为 A V 的一组基则12,rA aA aA a  是2 ()AV的一组基. (六) 设 A 为 2 级实方阵，适合21001A ，求证： A 相似于0110. (七) 已知,fg 均为线性空间V 上线性变换，满足22,ffgg试证： （1） f 与 g 有相同的值域 ,fggg ff. （2） f 与 g 有相同的核 ,fgfg fg. 2001上海大学 高等代数 （一）计算行列式：231212123nnnxaaaaxaaaaxaaaax （二）设 A 为 3 阶非零方阵，且20A. 2 （1 ）求证：存在123,,aaa ，123,,bbb ，121233aAabbba  （2 ）求方程组0A X 的基础解系. （三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244fxxxxxxx xx x为标准形 （四）设A 为nm阶实矩阵，且()()rAm nm.若'2'()A Aa A A，求证'mA Aa E. （五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10 ,0nnAA求证：存在aV，使2211,,,,nnnaA a A aA aAaAa Aaa为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵. （六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ，都有0,0aA a aA的所有特征值都小于 0 . （七）设AaBa ，其中 A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量， 为实数.求证B正定的充分必要条件为'10a Aa. （八）若A 是正交阵，且A特征值为1 的重数是S ，求证：(1 ) sA （A 为A 的行列式）. 2 0 0 2 上海大学 高等代数 （一）计算行列式：若1232nxaaaaxaaABaaxaaaax，求ABABA . （二）设A 是n ...