不定积分典型例题

1不定积分典型例题 一、直接积分法 直接积分法是利用基本积分公式和不定积分性质求不定积分的方法，解题时往往需对被积函数进行简单恒等变形，使之逐项能用基本积分公式. 例1、求 dxxxx∫−)11(2 解 原式＝ Cxxdxxx++=−∫−41474543474)( 例2、求 dxeexx∫++113 解 原式＝ Cxeedxeexxxx++−=+−∫2221)1( 例3、求 dxxx∫22cossin1 解 原式 ∫∫∫+=+=dxxdxxdxxxxx222222sin1cos1cossincossinCxx+−=cottan 例4、 ∫dxx2cos2 解 原式＝ Cxxdxx++=+∫2sin2cos1 例5、 dxxx∫+221 解 原式∫∫+−=+−+=dxxdxxx)111(111222Cxx+−=arctan 注：本题所用“加 1 减 1”方法是求积分时常用的恒等变形技巧. 二、第一类换元积分法(凑微分法) 2CxGCuGduugdxxxgdxxfux++====∫∫∫=)]([)()()(')]([)()(ϕϕϕϕ还原求出令凑成 在上述过程中，关键的一步是从被积函数)(xf中选取适当的部分作为 )(' xϕ，与dx一起凑成 )(xϕ的微分 duxd=)(ϕ且 ∫duug)(易求. 例1、求 ∫dxxxcostan 解 原式＝ ∫∫−=xxxddxxxxcoscoscoscoscossinCxxdx+=−=−∫cos2cos)(cos23 例2、求 ∫−dxxxx2arcsin 解 原式)()(1arcsin211arcsin2xdxxdxxxx∫∫−=⋅−= Cxxdx+== ∫2)(arcsin)(arcsinarcsin2 注 )(21xddxx= 例3、求 ∫−−dxxx2491 解 原式∫∫−−+−=−)49()49(81)2(3)2(21221222xdxxxd Cxxxxxd+−+=−+−= ∫222494132arcsin214941)32(1)32(21 3 例4、求 ∫+⋅+dxxxx2211tan 解 原式＝ Cxxdx++−=++∫|1cos|ln11tan222 例5、求 dxxxx∫−−12 解 原式＝ ∫∫∫−+=−−−+dxxxdxxdxxxxxx1)1()1(22222 Cxxxdxx+−+=−−+=∫2323223)1(313)1(1213 例6、求 ∫+dxxtan11 解 原式＝ ∫∫+−+=+dxxxxxdxxxx)sincossincos1(21cossincos Cxxxxxdxxx+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∫|)sincos|ln(21)sin(cossincos121 例7、求 ∫−+−dxxxx11ln112 解 原式＝ Cxxxxdxx+−+=−+−+∫11ln41)11(ln11ln212 例8、求 ∫+ dxex11 解 原式＝ ∫∫∫+−=+−+dxeedxdxeeexxxxx111 Cexededxxxx++−=++−= ∫∫)1ln()1(11 4 例9、求 ∫−+dxeexx1 解 原式＝ Ceededxeexxxxx+=+=+∫∫arctan)()(11122 例10、求 ∫+dxxxsin1sin 解 原式＝ ∫∫∫−−=+−dxxxdxdxx2cossin1)sin111( dxxxdxxx ∫∫+−=22cossincos1Cxxx++−=sectan 例11、求 ∫−xxdxln32 解 原式 )(ln)ln32(21xdx −∫−= Cxx...