专题：抽象函数的单调性和奇偶性应用

抽 象 函 数 的 单 调 性 和 奇 偶 性 应 用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一 、判断单 调 性 和 奇 偶 性 1. 判断单 调 性 根据函 数 的 奇 偶 性 、单 调 性 等有关性 质，画出函 数 的 示意图，以形助数 ，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x( ) 在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么 f x( ) 在区间[]73，上是 A. 增函数且最小值为5 B. 增函数且最大值为5 C. 减函数且最小值为5 D. 减函数且最大值为5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B。 例2．偶函数f x( ) 在(0)，  上是减函数，问f x( ) 在()，0 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知 f x( ) 在()，0 上是增函数，证明如下： 任取 xxxx121200   因为f x( ) 在(0)，  上是减函数，所以fxfx()()12 。 又 f x( ) 是偶函数，所以 fxf xfxf x()()()()1122，， 从而f xf x()()12，故 f x( ) 在()，0 上是增函数。 2. 判断奇 偶 性 根据已知条件，通过恰当的 赋值代换，寻求 f x( ) 与 fx()的 关系。 例3．若函数yf xf x( )( ( ))0 与 yf x  ( ) 的图象关于原点对称，判断：函数 yf x( )是什么函数。 y 5 O -7 -3 3 7 x -5 y O x 解：设yf x( )图象上任意一点为P（xy00，）  yf x( ) 与yf x  ( ) 的图象关于原点对称，  P xy()00，关于原点的对称点()xy00，在yf x  ( ) 的图象上，  yfxyfx0000()() 又yf x00() fxf x()()00 即对于函数定义域上的任意x都有fxf x()( )，所以yf x( )是偶函数。 二 、证明单调性和奇偶性 1.证明单调性 例4．已知函数f(x)= 1)(1)(xgxg,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m、n∈R) 求证： f(x)是R上的增函数 解:设x1>x2  g(x)是R上的增函数, 且g(x)>0  g(x1) > g(x2) >0  g(x1)+1 > g(x2)+1 >0  1)(...