第一章 数与计算 第一单元 同余问题 1． 知识前提。 （1） 整除：如果整数a 除以自然数b,所得的商恰好是整数而没有余数(余数是0),我们就称a 能被b 整除或b 能整除a。 （2） 乘方的意义：求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。n个相同因数a 相乘，即n aa aa•个，记做na 。其中a 叫做底，n叫做指数，na 读做a 的n次方。 （3） 幂的运算法则： ① 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。即 mnm naaa•。 ② 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即 mnnmaa。 ③ 积的乘方，等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。即 nnnabab•。 2． 同余 如果两个整数的a、b 除以同一个自然数m 所得的余数相同，那么就说a、b 对于m 是同余的，记为a=h（modm）。我们把m 称为模。如果a、b 对于m 是同余的，那么a 与b 的差能被m 整除；反之，如果a 与b 的差能被M 整除，那么a、b 对于m 是同余的。 3． 规律、方法应用。 （1） 反身性规律：a 和a 对于m 同余。 （2） 对称性规律：a 和b 对于m 同余，那么b 和a 对于m 同余。 （3） 传递性规律：如果a 和b 对于m 同余，b 和c 对于m 同余，那么a 和c 对于m 同余。 （4） 同余的加减法、乘法规律：如果a 和b 对于m 同余，c 和d 对于m 同余，那么a＋c，和b＋d，a－c 和b－d，ac 和bd 对于m 同余。 （5） 同余的乘方规律：如果a 和b 对于m 同余，那么na 和nb 也对于m 同余。 （6） 同余的连加规律：1a 和1b 对于m 同余，2a 和2b 对于m 同余，3a 和3b 对于m 同余……na 和nb 对于m 同余，那么123naaaa和123nbbbb也对于m 同余。 例1． 有一个不等于1 的整数，它除300，262，205 得到的余数相同，这个整数是多少？ 拓展一 如果某数除492,2241,3195 都余15,那么这个数是几? 拓展二 自然数16520,14903,14177 除以m 的余数相同, m 的最大值是多少? 拓展三 若 2836,4582,5164,6522 这 4 个数被同一个数相除,所得的余数相同且为两位数,则除数和余数的和为多少? 例 2．求200359除以7 的余数。 拓展一 求1897253 1594除以13 的余数。 拓展二 求2814323 38752413289786除以11 的余数。 拓展三 求123456789123456789的结果除以3 的余数。 拓展四 把1 至2 0 0 2 这2 0 0 2 个自然...
