教学大纲一、教学目的、任务常微分方程历来是综合性大学数学系各专业的核心基础课程，不仅是进一步学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.通过本课程学习，不仅为后行课程打下基础，而且以穿插其中的在历史上成功利用微分方程解释实际现象的著名范例来培养学生用数学理论解决实际问题的意识和初步能力.实行中英双语教学，适时穿插工程实践背景的应用分析培养学生的动手能力和创新意识.二、教学内容的结构分为六章内容讲解，具体地：1.微分方程建模（8 学时）;2.初等积分法（12 学时）;3.线性系统（8 学时）;4.常系数线性系统（12 学时，包括若干振动问题 4 学时）;5.一般理论（12 学时）;6.定性理论初步（12 学时）.三、单元教学目标与任务第一章绪论1、基本内容（1）常微分方程模型（含 Duffing 机械振动、VandePol 电磁震荡、天文二体问题、生态种群竞争系统、物理化学系统）;（2）微分方程求解思想（解的定义、高阶方程与一阶方程组的互化，微分方程的几何解释，包括等倾线与方向场分析等）;（3）微分方程的基本问题（通解的概念，“线性”与“非线性”微分方程）.2、基本要求（1）了解微分方程的背景和建模过程;（2）理解微分方程的定解条件，尤其是初值条件;(3) 掌握高阶方程与一阶方程组的互化;(4) 理解等倾线与方向场与解的关系.3、建议课时(8 学时)(1)常微分方程模型(2 学时);(2) 微分方程求解思想(4 学时);(3)基本问题(1 学时);(4)习题课(1 学时).第二章初等积分法1、基本内容(1) 变量分离形式(含初等变换应用、一阶线性方程、伯努里方程、齐次方程和线性分式方程求解);(2) 恰当方程形式(对恰当方程求通积分，以及积分因子法);(3) 隐式方程(微分法与参数法);(4) 初等积分法的一些应用(奇解与包络并引伸出解的存在唯一性问题Clairaut 方程，高阶微分方程，平面保守系统，Riccati 方程).2、基本要求(1) 掌握分离变量法和积分因子法;(2) 理解恰当方程的条件;(3) 掌握一阶线性方程和伯努里方程求解，掌握求解隐式微分方程微分法与参数法;(4) 了解奇解与包络.3、建议课时(12 学时)(1) 变量分离形式及习题课(4 学时);(2) 恰当方程形式及习题课(3 学时);(3) 隐式方程(2 学时);(4) 初等积分法的一些应用及习题课(3 学时).第三章线性方程1、基本内容(1) 存在性与唯一性;⑵ 齐次线性方程组...
