一、半角模型及其常见结论在正方形 ABCD中，已知 E、F 分别是边 BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF 分别与 对 角线 交 于 点 M、N（ △ AEF 满足定 角定 高 为 ‘ 唐 三 角模型’）求 证 ：（ 1） BE+DF=EF（ 2） S△ ABE+S△ ADF=S△ AEF（ 3） AH=AB（ 4） C△ ECF=2AB（ 5） BM2+DN2=MN2（ 6） △ A MN∽ △ D NF∽ △ B EM∽ △ AEF∽ △ BNA∽ △ DAM（ 7） S△ AMN=S四 边形 MNEF（ 8） △ AOM∽ △ ADF, △ AON∽ △ ABE（ 9） △ AEN为 等 腰 直 角三 角形且∠A EN=45°； △ AEN为 等 腰 直 角三 角形且∠AEN=45°（ 10） A、M、F、D四 点共 圆 ； A 、B、E、N四 点共 圆 ； M、N 、F、C、E五 点共 圆 ；唐三角形小唐在摆弄直尺和三角板时发现：如图，如果将三角板的一个顶点落在直尺的一边上，并绕着该点旋转，三角板和直尺重叠的部分是一个三角形时，该三角形始终有一角及该角所对边上的高度保持不变，于是，小唐将该三角形定义为“唐三角”，这个不变的角定义为定角，这个不变的高定义为定高。小唐和爸爸又一起研究证明出：当“唐三角”是以定角为顶角的等腰三角形式，“唐三角”有最小面积。即当“唐三角”△ABC中 AB=AC时，S△ABC取最小值请你在小唐研究的基础上继续探究问题探究（1）如图①一张正方形纸片 ABCD，E、F 分别为 AD、CD边上的点，将其沿 BE、BF 折叠，使得折叠后的点 A、C重合于点 M，请指出图中的一个“唐三角”____________；（2）如图②一张边长为 a 的正方形纸片，E、F 分别为 AD、CD边上的点，若△D EF 的周长为 2a，试探究∠EBF 的度数，并说明理由；问题解决（3）如图③Rt△ABC，∠C=90°，∠CAB和∠C BA的外 角平 分线 交 于点 P，若△ABC的周长恒 为 8，试探究 S四边形 ACBP是否存在最大值？若存在，请求出最大值（精确到 0.01）；若不存在，请说明理由.牛刀小试（1）如图 1，在△ABC中，∠A CE=45°，CD为AB上 的 高 ，若CD=4，试判断AB是 否 存 在最 小值 ？ 并 求 出 最 小值 。（2）如图 2，在四 边 形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，BC=CD=，点E、F 分 别 为AB、 AD上 的 点 ，若 保 持CE⊥ CF，那 么 四 边 形AECF 的 面 积 是 否 存 在最 大 值 ？ 若 存 在，求 出 最 大 面 积 ； 若 不 存 在请 说 明 理 由 。（3）如图 4，正 方 形ABCD边 长 为4，点E、 F 分 别 为 边AB、 BC上 的 动 点 ，且 ∠EDF=45°，求 四 边 形DEBF 面 积 的 最 大 值
