华工应用随机过程试卷及参考答案

1 华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷） （闭卷时间 120 分钟） 院/系年级 __专业姓名学号 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1、设 X 是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量，且EX 存在， C 是 F 的子 σ－域，定义 E(XC)如下：（1）_______________ ； （2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t),t ≥ 0 }是强度为 λ 的 Poisson 过程，则 N (t)具有_____、 _____增量，且∀t >0 ，h >0 充分小，有：P({N (t + h)− N (t) = 0 })＝ ________，P({N (t + h)− N (t) =1 })＝_____________； 3、设{W (t),t ≥ 0 }为一维标准 Brow n 运动，则∀t >0 ，W (t) ～____，且与 Brow n 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。 二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 1、设 X 是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变量，并且具有 得分 得分 2 指数分布，即：P({X ≤ a}) =1 −e−λa ，a >0 ，其中λ 是正常数。设λ是 另一个正常数，定义：Z = λ λe−(λ−λ)X ，由下式定义：P(A)=∫AZdP， ∀A∈F ；（1 ）证明：P(Ω) =1 ；（2 ）在概率测度P 下计算的分布函 数：P({X ≤ a})，a>0 ； 2 、设X0～U (0 ,1 )，Xn+1～U (1 −Xn,1 )，n≥1 ，域流{Fn,n≥ 0 }满足： Fn =σ(Xk,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2 n ⋅∏kn=1 1 X−kX −1 k ， n ≥1 ，试证：{Yn,n ≥ 0 }关于域流{Fn,n ≥ 0 }是鞅！ 三、计算证明题（共 6 0 分） 1 、（1 2 分）假设 X～E(λ)，给定c >0 ，试分别由指数分布的无记 得分 3 E(XIA ) 忆性和E(X A) = ，求E(XX >c)； P(A) 2 、（1 0 分，选做一题） （1 ）设 X～E(λ)，Y～E(μ)，λ> μ，且 X,Y 相互独立；∀c >0，设 fX X +Y (x c)为给定 X +Y = c 时 X 的条件概率密度，试求之并由此求 E(X X +Y = c)； ⎧1 （2 ）设(X,Y)～f (x , y) = ⎪⎨x ,0 ≤ y ≤...