本系列共14 讲第四讲奇妙的方格表.文档贡献者：与你的缘方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题．许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理．这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到。一、计数问题例 1 下图中共有多少个矩形？分析 如果直接数，很容易遗漏或者重复．为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加．在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了。解法1：在已知的方格表中，“□”共有5×3=15 个，“□□”共有4×3=12 个，“□□□”共有3×3＝9 个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为 90 个。解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1＋2+3＋4+5）×（3＋2＋1）=90个。例2在上页的方格表中，共有几个 形（含有3 个小方格的拐，也可以是或 或 ）？分析不妨称 形为L 形。容易看出，在每个由4 个小方格组成的正方形中都含有4 个L 形．因此为了求L 形的个数，只需先求“田”字形的个数。解：在上页的方格表的第1、2 行中含有“田”字形4 个，第2、3 行中也含4 个，共有“田”字形8 个，每个“田”字形对应 4 个L 形，因此共有L 形4×8=32 个。说明：计数最基本的方法是分类讨论．如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法．例2 中的计数方法利用了对应的思想。当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两种事物之间的对应关系，例如在3×5 的方格表中计算形的个数，可以先计算 2×3 的矩形共有多少个，然后由每个2×3 的矩形中都含有4 个形，于是就能算出形的总个数，共有10×4=40个。在例1 中计算矩形个数还有一些更高明的方法，这些方法将在中学里学到。例3在4×4 的方格表中，至少放上几个 后，才能使这一表中不能再放下一个 了（不许重叠）？如果是6×6 或8×8 的方格表，结果如何？解：如图，在4×4 的方格表中放下3 个L 形，即不能再放下一个L 形了。如果只放了两个L 形，那么可以证明总还能再放下一个L 形．因为每个“田”字形内至少盖住两格后才不再能放下L 形，而 4×4 的方格表中共有 4 个不相重叠的“田”字形，至少应盖住 2×4=8 格后，才不再能放一个L 形，如果只...
