本系列共14 讲第四讲奇妙的方格表
文档贡献者：与你的缘方格表是人们最熟悉最简单的图形之一，但这个简单的图形却可以说是一个广阔的数学天地，其中包含着许许多多奇妙的数学问题．许多问题看起来非常简单非常有趣，但却要用到许多数学方法，蕴含着许多深刻的道理．这些方法和道理在我们以后的学习中将经常用到
一、计数问题例 1 下图中共有多少个矩形
分析 如果直接数，很容易遗漏或者重复．为了避免遗漏或重复，可以将图形中的各种矩形按形状大小分类，分别计数后再相加．在分类计数中如果能发现规律，那就更简单了
解法1：在已知的方格表中，“□”共有5×3=15 个，“□□”共有4×3=12 个，“□□□”共有3×3＝9 个，…如此进行下去，把各类矩形的个数相加，可得矩形总数为 90 个
解法2：将各类矩形列出表来（如下页图），分析各类矩形个数的算式，很容易发现规律，于是可得矩形总个数为：（1＋2+3＋4+5）×（3＋2＋1）=90个
例2在上页的方格表中，共有几个 形（含有3 个小方格的拐，也可以是或 或 ）
分析不妨称 形为L 形
容易看出，在每个由4 个小方格组成的正方形中都含有4 个L 形．因此为了求L 形的个数，只需先求“田”字形的个数
解：在上页的方格表的第1、2 行中含有“田”字形4 个，第2、3 行中也含4 个，共有“田”字形8 个，每个“田”字形对应 4 个L 形，因此共有L 形4×8=32 个
说明：计数最基本的方法是分类讨论．如果在分类讨论中发现规律，就可以改进算法．例2 中的计数方法利用了对应的思想
当直接计算某一事物的个数有困难时，往往可以先转化成计算另一事物的个数，然后再研究这两种事物之间的对应关系，例如在3×5 的方格表中计算形的个数，可以先计算 2×3 的矩形共有多少个，然后由每个2×3 的矩形中都含有4 个形，于是就能算出形的总个数，共有10×4=40个
在例1 中计
