I复数的四种表示形式

精品文档---下载后可任意编辑知识、方法、技能I．复数的四种表示形式代数形式：z=a+bi(a,b∈R）几何形式：复平面上的点 Z（a,b ）或由原点出发的向量⃗OZ .三角形式：z=r( cosθ+i sinθ),r≥0,0∈R.指数形式：z=reiθ.复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.II．复数的运算法则加、减法：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+( b±d)i ;乘法：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad )i ;r1(cosθ1+i sin θ1)⋅r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[ cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)];除法：a+bic+bi =ac+bdc2+d2 + bc−adc2+d2 i( c+di≠0).r1(cos θ1+i sinθ1)r2(cos θ2+i sinθ2)=r1r 2[cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)].乘方：[r(cosθ+i sinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ)(n∈N）；开方：复数r(cos θ+isinθ)n的 次方根是n√r(cos θ+2kπn+i sin θ+2kπn)(k=0,1,⋯,n−1).III．复数的模与共轭复数复数的模的性质①|z|≥|Re(z )|,|z|≥Im( z)|;②|z1⋅z2⋯zn|=|z1|⋅|z2|⋯|zn|;③| z1z2|=|z1||z2|( z2≠0);④||z1|−|z2||≤|z1+z2|,与复数 z1 、对应的向量⃗OZ1 、⃗OZ2 反向时取等号；⑤|z1+z2+⋯+zn|≤|z1|+|z2|+⋯+|zn|，与复数z1, z2 ,⋯, zn对应的向量⃗OZ1 ,⃗OZ2⋯,⃗OZn 同时取等号.共轭复数的性质①z⋅⃗z=|z|2=|⃗z|2；②z+⃗z=2Re(z), z−⃗z=2Im(z)；③z=z④z1±z2=z1±z2；⑤z1⋅z2=z1⋅z1 ；⑥(z1z2)=z1z2(z2≠0);z⑦ 是实数的充要条件是z=z ,z 是纯虚的充要条件是z=−z(z≠0).Ⅳ．复数解题的常用方法与思想（1）两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等（辐角相差 2 的整数倍）. 利用复数相等的充要条件，可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径.（2）复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质，是模运算中的一个突出方面.赛题精讲例 1：设 m、n 为非零实数，i 为虚单位，C，则方程|z+ni|+|z−mi|=n ①与|z+ni|−|z−mi|=−m②如图 I—1—8—1，在同一复平面内的图形（F1、F2 是焦点）是（）【思路分析】可根据复平面内点的轨迹的定义；也可根据 m、n 的取值讨论进行求解.【略解】由复平面内点的轨迹的定义，得方程①在复平面上表示以点−ni,mi为焦点的椭圆，n>0,故−n<0 .这表明，至少有一焦点在下半虚轴上，可见（A）不真.又由方程①，椭圆的长轴之长为 ...