同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

1 第四篇 无穷级数 第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数. 第1 节 常数项级数的概念与性质 1 .1 常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 ,,,,,321nuuuu 则由这数列构成的表达式 nuuuu321 叫做（常数项）无穷级数 简称（常数项）级数 记为1nnu  即 3211nnnuuuuu 其中第n 项nu 叫做级数的一般项 作级数1nnu 的前n 项和 nniinuuuuus 3211 称为级数1nnu 的部分和 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列 11su，212suu，3123suuu，…， 12...nnsuuu，… 根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 如果级数1nnu 的部分和数列}{ ns有极限s  即ssnnlim 则称无穷级数1nnu 2 收敛 这时极限s 叫做这级数的和 并写成  3211 nnnuuuuus 如果}{ns没有极限 则称无穷级数1nnu 发散 当级数1nnu 收敛时 其部分和ns 是级数1nnu 的和s 的近似值 它们之间的差值 12nnnnrssuu 叫做级数1nnu 的余项 例1 讨论等比级数（几何级数）nnaq0(a0)的敛散性 解 如果1q 则部分和 qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn111 12 当1q时 因为qasnn1lim 所以此时级数nnaq0收敛 其和为qa1 当1q时 因为nnslim 所以此时级数nnaq0发散 如果1q 则当1q时 nsna   因此级数nnaq0发散 当1q时 级数nnaq0成为 aaaa 因为ns 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零 所以ns 的极限不存在 从而这时级数 nnaq0发散 综上所述 如果1q 则级数nnaq0收敛 其和为qa1 如果1q 则级数nnaq0 3 发散 例2 判别无穷级数1)11ln(nn 的收敛性 解 由于 nnnunln)1(ln)11ln( 因...